Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{5 x^{2} - 9 x - 9}{8 x^{2} - 2 x + 8}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5 x^{2} - 9 x - 9}{8 x^{2} - 2 x + 8}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$8 x^{2} - 2 x + 8 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x^{2} - 2 x + 8$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x^{2}$ .

$2 (4 x^{2}) - 2 x + 8 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$2 (4 x^{2}) + 2 (- x) + 8 = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 (4 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (4) = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$2 (4 x^{2} - x) + 2 (4) = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 x^{2} - x) + 2 (4)$ .

$2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - x + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 x^{2} - x + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $4 x^{2} - x + 4$ par $1$ .

$4 x^{2} - x + 4 = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$4 x^{2} - x + 4 = 0$

Étape 2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 1$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 4)}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 4$ .

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Étape 2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.1.3

Soustrayez $64$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.1.4

Réécrivez $- 63$ comme $- 1 (63)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (63)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.1.7

Réécrivez $63$ comme $3^{2} \cdot 7$ .

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Étape 2.5.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $63$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 4$ .

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Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.6.1.3

Soustrayez $64$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez $- 63$ comme $- 1 (63)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (63)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.6.1.7

Réécrivez $63$ comme $3^{2} \cdot 7$ .

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Étape 2.6.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $63$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.6.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

Étape 2.6.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

Étape 2.6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{8}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 4$ .

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Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.7.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.7.1.3

Soustrayez $64$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.7.1.4

Réécrivez $- 63$ comme $- 1 (63)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (63)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.7.1.7

Réécrivez $63$ comme $3^{2} \cdot 7$ .

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Étape 2.7.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $63$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.7.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

Étape 2.7.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

Étape 2.7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{8}$

Étape 2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{8}, \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{8}$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126}, - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | - \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126} \leq y \leq - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}}$

Étape 5

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Plage : $[- \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126}, - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}], {y | - \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126} \leq y \leq - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}}$

Étape 6