Ensembles finis Exemples

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y - 73 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = x^{2} + 4 x - 73$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.2

Multipliez $x^{2} + 4 x - 73$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3

Soustrayez $73$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4

Factorisez $x^{2} + 4 x - 77$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 77$ et dont la somme est $4$ .

$- 7, 11$

Étape 3.1.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5

Réécrivez $- 4 (x - 7) (x + 11)$ comme $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

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Étape 3.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

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Étape 4.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $x^{2} + 4 x - 73$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $73$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Factorisez $x^{2} + 4 x - 77$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 77$ et dont la somme est $4$ .

$- 7, 11$

Étape 4.1.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $- 4 (x - 7) (x + 11)$ comme $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Étape 4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $x^{2} + 4 x - 73$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $73$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Factorisez $x^{2} + 4 x - 77$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 77$ et dont la somme est $4$ .

$- 7, 11$

Étape 5.1.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Réécrivez $- 4 (x - 7) (x + 11)$ comme $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

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Étape 5.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- 1 (x - 7) (x + 11) \geq 0$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 11 = 0$

Étape 8.2

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.2.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 8.2.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 8.3

Définissez $x + 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.3.1

Définissez $x + 11$ égal à $0$ .

$x + 11 = 0$

Étape 8.3.2

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 11$

Étape 8.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 1 (x - 7) (x + 11) \geq 0$ vraie.

$x = 7, - 11$

Étape 8.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 11$

$- 11 < x < 7$

$x > 7$

Étape 8.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 11$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 11$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 14$

Étape 8.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 14$ dans l’inégalité d’origine.

$- 1 ((- 14) - 7) ((- 14) + 11) \geq 0$

Étape 8.6.1.3

Le côté gauche $- 63$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 11 < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 11 < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- 1 ((0) - 7) ((0) + 11) \geq 0$

Étape 8.6.2.3

Le côté gauche $77$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 8.6.3.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$- 1 ((10) - 7) ((10) + 11) \geq 0$

Étape 8.6.3.3

Le côté gauche $- 63$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 11$ Faux

$- 11 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

$x < - 11$ Faux

$- 11 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

Étape 8.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 11 \leq x \leq 7$

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 11, 7]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 11 \leq x \leq 7}$

Étape 10

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 7, 11]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | - 7 \leq y \leq 11}$

Étape 11

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $[- 11, 7], {x | - 11 \leq x \leq 7}$

Plage : $[- 7, 11], {y | - 7 \leq y \leq 11}$

Étape 12