Ensembles finis Exemples

$\frac{x^{2}}{48} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Étape 1

Soustrayez $\frac{x^{2}}{48}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{48}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $64$ .

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Étape 3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $64$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $64$ par $1$ .

$y^{2} = 64 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

Étape 3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{48}$ dans le numérateur.

$y^{2} = 64 + 64 \frac{- x^{2}}{48}$

Étape 3.2.1.3.2

Factorisez $16$ à partir de $64$ .

$y^{2} = 64 + 16 (4) \frac{- x^{2}}{48}$

Étape 3.2.1.3.3

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

Étape 3.2.1.3.4

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

Étape 3.2.1.3.5

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 64 + 4 \frac{- x^{2}}{3}$

Étape 3.2.1.4

Associez $4$ et $\frac{- x^{2}}{3}$ .

$y^{2} = 64 + \frac{4 (- x^{2})}{3}$

Étape 3.2.1.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y^{2} = 64 + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

Étape 3.2.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = 64 - \frac{4 x^{2}}{3}$

Étape 4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Étape 5

Simplifiez $\pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$ .

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Étape 5.1

Pour écrire $64$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{64 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.1

Associez $64$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Étape 5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3 - 4 x^{2}}{3}}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1

Factorisez $4$ à partir de $64 \cdot 3 - 4 x^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $64 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) - 4 x^{2}}{3}}$

Étape 5.3.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})}{3}}$

Étape 5.3.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3 - x^{2})}{3}}$

Étape 5.3.2

Multipliez $16$ par $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$

Étape 5.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2^{2} (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.6

Multipliez $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.7.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.7.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 5.7.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 5.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 5.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.7.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 5.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.8

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Étape 6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{3 (48 - x^{2})}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$3 (48 - x^{2}) \geq 0$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 8.1.1

Divisez chaque terme dans $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ par $3$ .

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

Étape 8.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

Étape 8.1.2.1.2

Divisez $48 - x^{2}$ par $1$ .

$48 - x^{2} \geq \frac{0}{3}$

Étape 8.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.1.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$48 - x^{2} \geq 0$

Étape 8.2

Soustrayez $48$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 48$

Étape 8.3

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 48$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 8.3.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 48$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Étape 8.3.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Étape 8.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.3.1

Divisez $- 48$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 48$

Étape 8.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{48}$

Étape 8.5

Simplifiez l’équation.

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Étape 8.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.5.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{48}$

Étape 8.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.5.2.1

Simplifiez $\sqrt{48}$ .

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Étape 8.5.2.1.1

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 8.5.2.1.1.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$| x | \leq \sqrt{16 (3)}$

Étape 8.5.2.1.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Étape 8.5.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq | 4 | \sqrt{3}$

Étape 8.5.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$| x | \leq 4 \sqrt{3}$

Étape 8.6

Écrivez $| x | \leq 4 \sqrt{3}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 8.6.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 8.6.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq 4 \sqrt{3}$

Étape 8.6.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 8.6.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq 4 \sqrt{3}$

Étape 8.6.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq 4 \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \leq 4 \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Étape 8.7

Déterminez l’intersection de $x \leq 4 \sqrt{3}$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

Étape 8.8

Résolvez $- x \leq 4 \sqrt{3}$ quand $x < 0$ .

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Étape 8.8.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 4 \sqrt{3}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 8.8.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 4 \sqrt{3}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Étape 8.8.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.8.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Étape 8.8.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Étape 8.8.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.8.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (4 \sqrt{3})$

Étape 8.8.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot (4 \sqrt{3})$ comme $- (4 \sqrt{3})$ .

$x \geq - (4 \sqrt{3})$

Étape 8.8.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x \geq - 4 \sqrt{3}$

Étape 8.8.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - 4 \sqrt{3}$ et $x < 0$ .

$- 4 \sqrt{3} \leq x < 0$

Étape 8.9

Déterminez l’union des solutions.

$- 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

Étape 10

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 8, 8]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | - 8 \leq y \leq 8}$

Étape 11

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}], {x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

Plage : $[- 8, 8], {y | - 8 \leq y \leq 8}$

Étape 12