Ensembles finis Exemples

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Étape 1

Soustrayez $\frac{x^{2}}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{4}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 9$ .

$- 9 (- \frac{y^{2}}{9}) = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Étape 3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez $- 9 (- \frac{y^{2}}{9})$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y^{2}}{9}$ dans le numérateur.

$- 9 \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Étape 3.1.1.1.2

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$9 (- 1) \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Étape 3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$9 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Étape 3.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Étape 3.1.1.2

Multipliez.

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Étape 3.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Étape 3.1.1.2.2

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $- 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = - 9 \cdot 1 - 9 (- \frac{x^{2}}{4})$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$y^{2} = - 9 - 9 (- \frac{x^{2}}{4})$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 9 (- \frac{x^{2}}{4})$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$y^{2} = - 9 + 9 \frac{x^{2}}{4}$

Étape 3.2.1.3.2

Associez $9$ et $\frac{x^{2}}{4}$ .

$y^{2} = - 9 + \frac{9 x^{2}}{4}$

Étape 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$

Étape 5

Simplifiez $\pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{4}}$

Étape 5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 5.3

Réécrivez $\frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}$ comme ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 3^{2} + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

Étape 5.4.2

Remettez dans l’ordre $- 3^{2}$ et ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3 x}{2})}^{2} - 3^{2}}$

Étape 5.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{3 x}{2}$ et $b = 3$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Factorisez $3$ à partir de $\frac{3 x}{2} + 3$ .

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Étape 5.6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $\frac{3 x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Étape 5.6.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3 (1)) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Étape 5.6.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \frac{x}{2} + 3 (1)$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Étape 5.6.2

Factorisez $3$ à partir de $\frac{3 x}{2} - 3$ .

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Étape 5.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $\frac{3 x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} - 3)}$

Étape 5.6.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} + 3 (- 1))}$

Étape 5.6.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \frac{x}{2} + 3 (- 1)$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 (\frac{x}{2} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) \cdot 3 (\frac{x}{2} - 1)}$

Étape 5.6.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}$

Étape 5.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}$

Étape 5.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}$

Étape 5.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}$

Étape 5.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}$

Étape 5.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 5.12

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 2}{2}}$

Étape 5.13

Associez les exposants.

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Étape 5.13.1

Associez $9$ et $\frac{x + 2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2)}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}$

Étape 5.13.2

Multipliez $\frac{9 (x + 2)}{2}$ par $\frac{x - 2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}$

Étape 5.13.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}}$

Étape 5.14

Réécrivez $\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}$ comme ${(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Étape 5.14.1

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9 (x + 2) (x - 2)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}$

Étape 5.14.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 5.14.3

Réorganisez la fraction $\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

Étape 5.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{3}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 5.16

Associez $\frac{3}{2}$ et $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Étape 6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(x + 2) (x - 2) \geq 0$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 8.2

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.2.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 8.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 8.3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 8.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 8.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x - 2) \geq 0$ vraie.

$x = - 2, 2$

Étape 8.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Étape 8.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 8.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$((- 4) + 2) ((- 4) - 2) \geq 0$

Étape 8.6.1.3

Le côté gauche $12$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$((0) + 2) ((0) - 2) \geq 0$

Étape 8.6.2.3

Le côté gauche $- 4$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 8.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$((4) + 2) ((4) - 2) \geq 0$

Étape 8.6.3.3

Le côté gauche $12$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 8.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 2$ ou $x \geq 2$

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 2, x \geq 2}$

Étape 10

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \in ℝ}$

Étape 11

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, - 2] \cup [2, \infty), {x | x \leq - 2, x \geq 2}$

Plage : $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Étape 12