Ensembles finis Exemples

$\frac{x^{2}}{225} + \frac{y^{2}}{625} = 1$

Étape 1

Soustrayez $\frac{x^{2}}{225}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{625} = 1 - \frac{x^{2}}{225}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $625$ .

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Étape 3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $625$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez $625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 625 \cdot 1 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $625$ par $1$ .

$y^{2} = 625 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

Étape 3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{225}$ dans le numérateur.

$y^{2} = 625 + 625 \frac{- x^{2}}{225}$

Étape 3.2.1.3.2

Factorisez $25$ à partir de $625$ .

$y^{2} = 625 + 25 (25) \frac{- x^{2}}{225}$

Étape 3.2.1.3.3

Factorisez $25$ à partir de $225$ .

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

Étape 3.2.1.3.4

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

Étape 3.2.1.3.5

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 625 + 25 \frac{- x^{2}}{9}$

Étape 3.2.1.4

Associez $25$ et $\frac{- x^{2}}{9}$ .

$y^{2} = 625 + \frac{25 (- x^{2})}{9}$

Étape 3.2.1.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$y^{2} = 625 + \frac{- 25 x^{2}}{9}$

Étape 3.2.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = 625 - \frac{25 x^{2}}{9}$

Étape 4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$

Étape 5

Simplifiez $\pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Réécrivez $625$ comme $25^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{25^{2} - \frac{25 x^{2}}{9}}$

Étape 5.1.2

Réécrivez $\frac{25 x^{2}}{9}$ comme ${(\frac{5 x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{25^{2} - {(\frac{5 x}{3})}^{2}}$

Étape 5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 25$ et $b = \frac{5 x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(25 + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Étape 5.3

Pour écrire $25$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(25 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Étape 5.4

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Associez $25$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{25 \cdot 3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Étape 5.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 3 + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Étape 5.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Factorisez $5$ à partir de $25 \cdot 3 + 5 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.1

Factorisez $5$ à partir de $25 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Étape 5.5.1.2

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Étape 5.5.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (5 \cdot 3) + 5 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Étape 5.5.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Étape 5.6

Pour écrire $25$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

Étape 5.7

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.1

Associez $25$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (\frac{25 \cdot 3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

Étape 5.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{25 \cdot 3 - 5 x}{3}}$

Étape 5.8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.1

Factorisez $5$ à partir de $25 \cdot 3 - 5 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.1.1

Factorisez $5$ à partir de $25 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) - 5 x}{3}}$

Étape 5.8.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)}{3}}$

Étape 5.8.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3 - x)}{3}}$

Étape 5.8.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (15 - x)}{3}}$

Étape 5.9

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.9.1

Multipliez $\frac{5 (15 + x)}{3}$ par $\frac{5 (15 - x)}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x) (5 (15 - x))}{3 \cdot 3}}$

Étape 5.9.2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.9.2.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{3 \cdot 3}}$

Étape 5.9.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}}$

Étape 5.10

Réécrivez $\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}$ comme ${(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.10.1

Factorisez la puissance parfaite $5^{2}$ dans $25 (15 + x) (15 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{9}}$

Étape 5.10.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Étape 5.10.3

Réorganisez la fraction $\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))}$

Étape 5.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{5}{3} \sqrt{(15 + x) (15 - x)}$

Étape 5.12

Associez $\frac{5}{3}$ et $\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Étape 6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(15 + x) (15 - x) \geq 0$

Étape 8

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$15 + x = 0$

$15 - x = 0$

Étape 8.2

Définissez $15 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Définissez $15 + x$ égal à $0$ .

$15 + x = 0$

Étape 8.2.2

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 15$

Étape 8.3

Définissez $15 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Définissez $15 - x$ égal à $0$ .

$15 - x = 0$

Étape 8.3.2

Résolvez $15 - x = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 15$

Étape 8.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 15$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 15$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 15}{- 1}$

Étape 8.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 15}{- 1}$

Étape 8.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 15}{- 1}$

Étape 8.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.2.3.1

Divisez $- 15$ par $- 1$ .

$x = 15$

Étape 8.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(15 + x) (15 - x) \geq 0$ vraie.

$x = - 15, 15$

Étape 8.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 15$

$- 15 < x < 15$

$x > 15$

Étape 8.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 15$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 15$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 18$

Étape 8.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 18$ dans l’inégalité d’origine.

$(15 - 18) (15 - (- 18)) \geq 0$

Étape 8.6.1.3

Le côté gauche $- 99$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 15 < x < 15$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 15 < x < 15$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(15 + 0) (15 - (0)) \geq 0$

Étape 8.6.2.3

Le côté gauche $225$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 15$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 15$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 18$

Étape 8.6.3.2

Remplacez $x$ par $18$ dans l’inégalité d’origine.

$(15 + 18) (15 - (18)) \geq 0$

Étape 8.6.3.3

Le côté gauche $- 99$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 15$ Faux

$- 15 < x < 15$ Vrai

$x > 15$ Faux

$x < - 15$ Faux

$- 15 < x < 15$ Vrai

$x > 15$ Faux

Étape 8.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 15 \leq x \leq 15$

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 15, 15]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 15 \leq x \leq 15}$

Étape 10

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 25, 25]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | - 25 \leq y \leq 25}$

Étape 11

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $[- 15, 15], {x | - 15 \leq x \leq 15}$

Plage : $[- 25, 25], {y | - 25 \leq y \leq 25}$

Étape 12