Ensembles finis Exemples

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{64} = 1$

Étape 1

Ajoutez $\frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = 1 + \frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$

Étape 2

Simplifiez $1 + \frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$ .

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Étape 2.1

Associez en une fraction.

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Étape 2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64}{64} + \frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$

Étape 2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + {(x - 3)}^{2}}{64}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Réécrivez ${(x - 3)}^{2}$ comme $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + (x - 3) (x - 3)}{64}$

Étape 2.2.2

Développez $(x - 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x (x - 3) - 3 (x - 3)}{64}$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)}{64}$

Étape 2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3}{64}$

Étape 2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3}{64}$

Étape 2.2.3.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3}{64}$

Étape 2.2.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} - 3 x - 3 x + 9}{64}$

Étape 2.2.3.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} - 6 x + 9}{64}$

Étape 2.2.4

Additionnez $64$ et $9$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $36$ .

$36 \frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = 36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Étape 4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun de $36$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$36 \frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = 36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

${(y - 8)}^{2} = 36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

${(y - 8)}^{2} = 4 (9) \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Étape 4.2.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

${(y - 8)}^{2} = 4 \cdot 9 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{4 \cdot 16}$

Étape 4.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

${(y - 8)}^{2} = 4 \cdot 9 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{4 \cdot 16}$

Étape 4.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

${(y - 8)}^{2} = 9 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{16}$

Étape 4.2.1.2

Associez $9$ et $\frac{x^{2} - 6 x + 73}{16}$ .

${(y - 8)}^{2} = \frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}$

Étape 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}}$

Étape 6

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}$ comme ${(\frac{3}{4})}^{2} (x^{2} - 6 x + 73)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9 (x^{2} - 6 x + 73)$ .

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}{16}}$

Étape 6.1.2

Factorisez la puissance parfaite $4^{2}$ dans $16$ .

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}{4^{2} \cdot 1}}$

Étape 6.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}{4^{2} \cdot 1}$ .

$y - 8 = \pm \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}$

Étape 6.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y - 8 = \pm \frac{3}{4} \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}$

Étape 6.3

Associez $\frac{3}{4}$ et $\sqrt{x^{2} - 6 x + 73}$ .

$y - 8 = \pm \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4}$

Étape 7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y - 8 = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4}$

Étape 7.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

Étape 7.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y - 8 = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4}$

Étape 7.4

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

Étape 7.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

Étape 8

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} - 6 x + 73}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 6 x + 73 \geq 0$

Étape 9

Résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 6 x + 73 = 0$

Étape 9.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 9.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 6$ et $c = 73$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 73)}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 73$ .

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Étape 9.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $73$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 292}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.4.1.3

Soustrayez $292$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.4.1.4

Réécrivez $- 256$ comme $- 1 (256)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (256)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.4.1.7

Réécrivez $256$ comme $16^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 16}{2 \cdot 1}$

Étape 9.4.1.9

Déplacez $16$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2 \cdot 1}$

Étape 9.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2}$

Étape 9.4.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 16 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 8 i$

Étape 9.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 9.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.5.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 73$ .

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Étape 9.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $73$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 292}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.5.1.3

Soustrayez $292$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.5.1.4

Réécrivez $- 256$ comme $- 1 (256)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (256)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.5.1.7

Réécrivez $256$ comme $16^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 16}{2 \cdot 1}$

Étape 9.5.1.9

Déplacez $16$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2 \cdot 1}$

Étape 9.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2}$

Étape 9.5.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 16 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 8 i$

Étape 9.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 3 + 8 i$

Étape 9.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 9.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.6.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 73$ .

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Étape 9.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $73$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 292}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.6.1.3

Soustrayez $292$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.6.1.4

Réécrivez $- 256$ comme $- 1 (256)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (256)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.6.1.7

Réécrivez $256$ comme $16^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 16}{2 \cdot 1}$

Étape 9.6.1.9

Déplacez $16$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2 \cdot 1}$

Étape 9.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2}$

Étape 9.6.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 16 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 8 i$

Étape 9.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 3 - 8 i$

Étape 9.7

Identifiez le coefficient directeur.

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Étape 9.7.1

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$x^{2}$

Étape 9.7.2

Le coefficient directeur dans un polynôme est le coefficient du terme principal.

$1$

Étape 9.8

Comme il n’y a pas d’abscisse à l’origine réelle et comme le coefficient directeur est positif, le parabole ouvre vers le haut et $x^{2} - 6 x + 73$ est toujours supérieur à $0$ .

Tous les nombres réels

Étape 10

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 11

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 2] \cup [14, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \leq 2, y \geq 14}$

Étape 12

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Plage : $(- \infty, 2] \cup [14, \infty), {y | y \leq 2, y \geq 14}$

Étape 13