Ensembles finis Exemples

${(x + \frac{3}{4})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{16}$

Étape 1

Soustrayez ${(x + \frac{3}{4})}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}$

Étape 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez ${(x + \frac{3}{4})}^{2}$ comme $(x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4})$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - ((x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4}))}$

Étape 3.2

Développez $(x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x (x + \frac{3}{4}) + \frac{3}{4} (x + \frac{3}{4}))}$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x \cdot x + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} (x + \frac{3}{4}))}$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x \cdot x + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Étape 3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Étape 3.3.1.2

Associez $x$ et $\frac{3}{4}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Étape 3.3.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 \cdot x}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{3}{4}$ et $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{3}{4}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4})}$

Étape 3.3.1.5.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4 \cdot 4})}$

Étape 3.3.1.5.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{9}{16})}$

Étape 3.3.2

Additionnez $\frac{3 x}{4}$ et $\frac{3 x}{4}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{4} + \frac{9}{16})}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{2 (2)} + \frac{9}{16})}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{2 \cdot 2} + \frac{9}{16})}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{9}{16})}$

Étape 3.5

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - x^{2} - \frac{3 x}{2} - \frac{9}{16}}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{25 - 9}{16}}$

Étape 3.6.2

Soustrayez $9$ de $25$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{16}{16}}$

Étape 3.6.3

Divisez $16$ par $16$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

Étape 3.7

Pour écrire $- x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

Étape 3.8

Simplifiez les termes.

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Étape 3.8.1

Associez $- x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

Étape 3.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} \cdot 2 - 3 x}{2} + 1}$

Étape 3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} \cdot 2 - 3 x$ .

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Étape 3.9.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} \cdot 2$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2) - 3 x}{2} + 1}$

Étape 3.9.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2) + x \cdot - 3}{2} + 1}$

Étape 3.9.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x \cdot 2) + x \cdot - 3$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2 - 3)}{2} + 1}$

Étape 3.9.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3)}{2} + 1}$

Étape 3.10

Associez en une fraction.

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Étape 3.10.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3)}{2} + \frac{2}{2}}$

Étape 3.10.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3) + 2}{2}}$

Étape 3.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 3 + 2}{2}}$

Étape 3.11.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x \cdot x + x \cdot - 3 + 2}{2}}$

Étape 3.11.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x \cdot x - 3 \cdot x + 2}{2}}$

Étape 3.11.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.11.4.1

Déplacez $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 (x \cdot x) - 3 \cdot x + 2}{2}}$

Étape 3.11.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 \cdot x + 2}{2}}$

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 x + 2}{2}}$

Étape 3.11.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.11.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 2 \cdot 2 = - 4$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 3.11.5.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 (x) + 2}{2}}$

Étape 3.11.5.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $1$ plus $- 4$

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + (1 - 4) x + 2}{2}}$

Étape 3.11.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + 1 x - 4 x + 2}{2}}$

Étape 3.11.5.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + x - 4 x + 2}{2}}$

Étape 3.11.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.11.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{(- 2 x^{2} + x) - 4 x + 2}{2}}$

Étape 3.11.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x + 1) + 2 (- 2 x + 1)}{2}}$

Étape 3.11.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 2 x + 1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{(- 2 x + 1) (x + 2)}{2}}$

Étape 3.12

Réécrivez $\sqrt{\frac{(- 2 x + 1) (x + 2)}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.13

Multipliez $\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.14

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.14.1

Multipliez $\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.14.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.14.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.14.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.14.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.14.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.14.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.14.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.14.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.14.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.14.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.14.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.14.6.5

Évaluez l’exposant.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.15

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2) \cdot 2}}{2}$

Étape 3.16

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2) \cdot 2}}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

Étape 4.2

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 4.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

Étape 4.4

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 (- 2 x + 1) (x + 2) \geq 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 6.2

Définissez $- 2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Définissez $- 2 x + 1$ égal à $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Étape 6.2.2

Résolvez $- 2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 6.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 6.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 6.3

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 6.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (- 2 x + 1) (x + 2) \geq 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, - 2$

Étape 6.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Étape 6.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 6.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$2 (- 2 \cdot - 4 + 1) ((- 4) + 2) \geq 0$

Étape 6.6.1.3

Le côté gauche $- 36$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 6.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2 (- 2 \cdot 0 + 1) ((0) + 2) \geq 0$

Étape 6.6.2.3

Le côté gauche $4$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 6.6.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$2 (- 2 \cdot 3 + 1) ((3) + 2) \geq 0$

Étape 6.6.3.3

Le côté gauche $- 50$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Faux

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Faux

Étape 6.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 2 \leq x \leq \frac{1}{2}$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 2, \frac{1}{2}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 2 \leq x \leq \frac{1}{2}}$

Étape 8

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{3}{4}, \frac{7}{4}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | - \frac{3}{4} \leq y \leq \frac{7}{4}}$

Étape 9

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $[- 2, \frac{1}{2}], {x | - 2 \leq x \leq \frac{1}{2}}$

Plage : $[- \frac{3}{4}, \frac{7}{4}], {y | - \frac{3}{4} \leq y \leq \frac{7}{4}}$

Étape 10