Ensembles finis Exemples

$r (x) = 400 x$ , $c (x) = x^{2} - 100 x + 3000$

Étape 1

Remplacez les indicateurs de fonctions par les fonctions réelles dans $\frac{r (x)}{c (x)}$ .

$\frac{400 x}{x^{2} - 100 x + 3000}$

Étape 2

Définissez le dénominateur dans $\frac{400 x}{x^{2} - 100 x + 3000}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 100 x + 3000 = 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 100$ et $c = 3000$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{100 \pm \sqrt{{(- 100)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3000)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Élevez $- 100$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 1 \cdot 3000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3000$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 3000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 12000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.3

Soustrayez $12000$ de $10000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 2000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.4

Réécrivez $- 2000$ comme $- 1 (2000)$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2000)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2000}$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{2000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.7

Réécrivez $2000$ comme $20^{2} \cdot 5$ .

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Étape 3.3.1.7.1

Factorisez $400$ à partir de $2000$ .

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{400 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.7.2

Réécrivez $400$ comme $20^{2}$ .

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{100 \pm i \cdot (20 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.9

Déplacez $20$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez $\frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 50 \pm 10 i \sqrt{5}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1.1

Élevez $- 100$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 1 \cdot 3000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3000$ .

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Étape 3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 3000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 12000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.3

Soustrayez $12000$ de $10000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 2000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.4

Réécrivez $- 2000$ comme $- 1 (2000)$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2000)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2000}$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{2000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.7

Réécrivez $2000$ comme $20^{2} \cdot 5$ .

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Étape 3.4.1.7.1

Factorisez $400$ à partir de $2000$ .

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{400 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.7.2

Réécrivez $400$ comme $20^{2}$ .

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{100 \pm i \cdot (20 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.9

Déplacez $20$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez $\frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 50 \pm 10 i \sqrt{5}$

Étape 3.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 50 + 10 i \sqrt{5}$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $- 100$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 1 \cdot 3000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3000$ .

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Étape 3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 3000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 12000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.3

Soustrayez $12000$ de $10000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 2000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.4

Réécrivez $- 2000$ comme $- 1 (2000)$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2000)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2000}$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{2000}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.7

Réécrivez $2000$ comme $20^{2} \cdot 5$ .

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Étape 3.5.1.7.1

Factorisez $400$ à partir de $2000$ .

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{400 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.7.2

Réécrivez $400$ comme $20^{2}$ .

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{100 \pm i \cdot (20 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.9

Déplacez $20$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{100 \pm 20 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 50 \pm 10 i \sqrt{5}$

Étape 3.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 50 - 10 i \sqrt{5}$

Étape 3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 50 + 10 i \sqrt{5}, 50 - 10 i \sqrt{5}$

Étape 4

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 5