Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{x}{x - 7}$ , $g (x) = - \frac{1}{x}$

Étape 1

Déterminez la somme des fonctions.

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Étape 1.1

Remplacez les indicateurs de fonctions par les fonctions réelles dans $f (x) + g (x)$ .

$\frac{x}{x - 7} - \frac{1}{x}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Pour écrire $\frac{x}{x - 7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x - 7} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}$

Étape 1.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$\frac{x}{x - 7} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x - 7}{x - 7}$

Étape 1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 7) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $\frac{x}{x - 7}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x - 7) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x - 7}{x - 7}$

Étape 1.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x - 7) x} - \frac{x - 7}{x (x - 7)}$

Étape 1.2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 7) x$ .

$\frac{x \cdot x}{x (x - 7)} - \frac{x - 7}{x (x - 7)}$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x \cdot x - (x - 7)}{x (x - 7)}$

Étape 1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - (x - 7)}{x (x - 7)}$

Étape 1.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - x - - 7}{x (x - 7)}$

Étape 1.2.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$\frac{x^{2} - x + 7}{x (x - 7)}$

Étape 2

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - x + 7}{x (x - 7)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x (x - 7) = 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 7 = 0$

Étape 3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.3

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 3.3.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 7) = 0$ vraie.

$x = 0, 7$

Étape 4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0, 7}$

Étape 5