Ensembles finis Exemples

(9, 8)

$(9, 8)$ ,

(9, 3)

$(9, 3)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez

9

$9$ par

9

$9$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3$

Étape 2.2.1.2

Multipliez

8

$8$ par

3

$3$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

Étape 2.2.2

Additionnez

81

$81$ et

24

$24$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de

a⃗

$a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Élevez

9

$9$ à la puissance

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez

8

$8$ à la puissance

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}$

Étape 3.2.3

Additionnez

81

$81$ et

64

$64$ .

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de

b⃗

$b⃗$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Élevez

9

$9$ à la puissance

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez

3

$3$ à la puissance

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}$

Étape 4.2.3

Additionnez

81

$81$ et

9

$9$ .

| b⃗ | = \sqrt{90}

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

Étape 4.2.4

Réécrivez

90

$90$ comme

3^{2} \cdot 10

$3^{2} \cdot 10$ .

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Étape 4.2.4.1

Factorisez

9

$9$ à partir de

90

$90$ .

| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez

9

$9$ comme

3^{2}

$3^{2}$ .

| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Étape 4.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à

105

$105$ et

3

$3$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez

3

$3$ à partir de

105

$105$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez

3

$3$ à partir de

\sqrt{145} (3 \sqrt{10})

$\sqrt{145} (3 \sqrt{10})$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145} (\sqrt{10})})$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145 \cdot 10}})$

Étape 6.2.2

Multipliez

$145$ par

$10$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{1450}})$

Étape 6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1

Réécrivez

$1450$ comme

$5^{2} \cdot 58$ .

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Étape 6.3.1.1

Factorisez

$25$ à partir de

$1450$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{25 (58)}})$

Étape 6.3.1.2

Réécrivez

$25$ comme

$5^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{5^{2} \cdot 58}})$

Étape 6.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$θ = \arccos (\frac{35}{5 \sqrt{58}})$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun à

$35$ et

$5$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez

$5$ à partir de

$35$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Étape 6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.1

Factorisez

$5$ à partir de

$5 \sqrt{58}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 (\sqrt{58})})$

Étape 6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Étape 6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}})$

Étape 6.5

Multipliez

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ par

$\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}})$

Étape 6.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.6.1

Multipliez

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ par

$\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{\sqrt{58} \sqrt{58}})$

Étape 6.6.2

Élevez

$\sqrt{58}$ à la puissance

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58}})$

Étape 6.6.3

Élevez

$\sqrt{58}$ à la puissance

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1}})$

Étape 6.6.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1 + 1}})$

Étape 6.6.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{2}})$

Étape 6.6.6

Réécrivez

${\sqrt{58}}^{2}$ comme

$58$ .

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Étape 6.6.6.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{58}$ comme

$58^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{(58^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.6.6.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.6.6.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 6.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{1}})$

Étape 6.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$

Étape 6.7

Évaluez

$\arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$ .

$θ = 23.19859051$