Ensembles finis Exemples

$(9, 8)$ , $(9, 3)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $9$ par $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $8$ par $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

Étape 2.2.2

Additionnez $81$ et $24$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}$

Étape 3.2.3

Additionnez $81$ et $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}$

Étape 4.2.3

Additionnez $81$ et $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

Étape 4.2.4

Réécrivez $90$ comme $3^{2} \cdot 10$ .

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Étape 4.2.4.1

Factorisez $9$ à partir de $90$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Étape 4.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $105$ et $3$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $105$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $\sqrt{145} (3 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145} (\sqrt{10})})$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145 \cdot 10}})$

Étape 6.2.2

Multipliez $145$ par $10$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{1450}})$

Étape 6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1

Réécrivez $1450$ comme $5^{2} \cdot 58$ .

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Étape 6.3.1.1

Factorisez $25$ à partir de $1450$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{25 (58)}})$

Étape 6.3.1.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{5^{2} \cdot 58}})$

Étape 6.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$θ = \arccos (\frac{35}{5 \sqrt{58}})$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun à $35$ et $5$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $5$ à partir de $35$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Étape 6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \sqrt{58}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 (\sqrt{58})})$

Étape 6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Étape 6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}})$

Étape 6.5

Multipliez $\frac{7}{\sqrt{58}}$ par $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}})$

Étape 6.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.6.1

Multipliez $\frac{7}{\sqrt{58}}$ par $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{\sqrt{58} \sqrt{58}})$

Étape 6.6.2

Élevez $\sqrt{58}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58}})$

Étape 6.6.3

Élevez $\sqrt{58}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1}})$

Étape 6.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1 + 1}})$

Étape 6.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{2}})$

Étape 6.6.6

Réécrivez ${\sqrt{58}}^{2}$ comme $58$ .

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Étape 6.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{58}$ comme $58^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{(58^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{1}})$

Étape 6.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$

Étape 6.7

Évaluez $\arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$ .

$θ = 23.19859051$