Ensembles finis Exemples

$(0, 154000)$ , $(10, 87000)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 \cdot 10 + 154000 \cdot 87000$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $0$ par $10$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 154000 \cdot 87000$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $154000$ par $87000$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 13398000000$

Étape 2.2.2

Additionnez $0$ et $13398000000$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 13398000000$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{0^{2} + 154000^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 154000^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $154000$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 23716000000}$

Étape 3.2.3

Additionnez $0$ et $23716000000$ .

$| a⃗ | = \sqrt{23716000000}$

Étape 3.2.4

Réécrivez $23716000000$ comme $154000^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{154000^{2}}$

Étape 3.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| a⃗ | = 154000$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{10^{2} + 87000^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{100 + 87000^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $87000$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{100 + 7569000000}$

Étape 4.2.3

Additionnez $100$ et $7569000000$ .

$| b⃗ | = \sqrt{7569000100}$

Étape 4.2.4

Réécrivez $7569000100$ comme $10^{2} \cdot 75690001$ .

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Étape 4.2.4.1

Factorisez $100$ à partir de $7569000100$ .

$| b⃗ | = \sqrt{100 (75690001)}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{10^{2} \cdot 75690001}$

Étape 4.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| b⃗ | = 10 \sqrt{75690001}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{13398000000}{154000 (10 \sqrt{75690001})})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $13398000000$ et $154000$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $154000$ à partir de $13398000000$ .

$θ = \arccos (\frac{154000 \cdot 87000}{154000 (10 \sqrt{75690001})})$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{154000 \cdot 87000}{154000 (10 \sqrt{75690001})})$

Étape 6.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{87000}{10 \sqrt{75690001}})$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $87000$ et $10$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $10$ à partir de $87000$ .

$θ = \arccos (\frac{10 \cdot 8700}{10 \sqrt{75690001}})$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $10$ à partir de $10 \sqrt{75690001}$ .

$θ = \arccos (\frac{10 \cdot 8700}{10 (\sqrt{75690001})})$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{10 \cdot 8700}{10 \sqrt{75690001}})$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{8700}{\sqrt{75690001}})$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{8700}{\sqrt{75690001}}$ par $\frac{\sqrt{75690001}}{\sqrt{75690001}}$ .

$θ = \arccos (\frac{8700}{\sqrt{75690001}} \cdot \frac{\sqrt{75690001}}{\sqrt{75690001}})$

Étape 6.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{8700}{\sqrt{75690001}}$ par $\frac{\sqrt{75690001}}{\sqrt{75690001}}$ .

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{\sqrt{75690001} \sqrt{75690001}})$

Étape 6.4.2

Élevez $\sqrt{75690001}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{{\sqrt{75690001}}^{1} \sqrt{75690001}})$

Étape 6.4.3

Élevez $\sqrt{75690001}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{{\sqrt{75690001}}^{1} {\sqrt{75690001}}^{1}})$

Étape 6.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{{\sqrt{75690001}}^{1 + 1}})$

Étape 6.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{{\sqrt{75690001}}^{2}})$

Étape 6.4.6

Réécrivez ${\sqrt{75690001}}^{2}$ comme $75690001$ .

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Étape 6.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{75690001}$ comme $75690001^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{{(75690001^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{75690001^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{75690001^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{75690001^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{75690001^{1}})$

Étape 6.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{75690001})$

Étape 6.5

Évaluez $\arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{75690001})$ .

$θ = 0.00658572$