Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 4 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 \\ 11 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 4 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 3 x - 2 y \\ 4 x + 3 y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 \\ 11 \end{array}]$

Étape 2

Write as a linear system of equations.

$3 x - 2 y = - 6$

$4 x + 3 y = 11$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.1

Résolvez $x$ dans $3 x - 2 y = - 6$ .

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Étape 3.1.1

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = - 6 + 2 y$

$4 x + 3 y = 11$

Étape 3.1.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 6 + 2 y$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 6 + 2 y$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

Étape 3.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

$x = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

$x = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.3.1

Divisez $- 6$ par $3$ .

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 2 + \frac{2 y}{3}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $4 x + 3 y = 11$ par $- 2 + \frac{2 y}{3}$ .

$4 (- 2 + \frac{2 y}{3}) + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez $4 (- 2 + \frac{2 y}{3}) + 3 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot - 2 + 4 (\frac{2 y}{3}) + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 8 + 4 (\frac{2 y}{3}) + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.1.3

Multipliez $4 \frac{2 y}{3}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.3.1

Associez $4$ et $\frac{2 y}{3}$ .

$- 8 + \frac{4 (2 y)}{3} + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.1.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$- 8 + \frac{8 y}{3} + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{8 y}{3} + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{8 y}{3} + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.2

Pour écrire $3 y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 8 + \frac{8 y}{3} + 3 y \cdot \frac{3}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $3 y$ et $\frac{3}{3}$ .

$- 8 + \frac{8 y}{3} + \frac{3 y \cdot 3}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 8 + \frac{8 y + 3 y \cdot 3}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{8 y + 3 y \cdot 3}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.2.1.4.1.1

Factorisez $y$ à partir de $8 y + 3 y \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.4.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $8 y$ .

$- 8 + \frac{y \cdot 8 + 3 y \cdot 3}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.4.1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $3 y \cdot 3$ .

$- 8 + \frac{y \cdot 8 + y (3 \cdot 3)}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.4.1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 8 + y (3 \cdot 3)$ .

$- 8 + \frac{y (8 + 3 \cdot 3)}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{y (8 + 3 \cdot 3)}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.4.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- 8 + \frac{y (8 + 9)}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.4.1.3

Additionnez $8$ et $9$ .

$- 8 + \frac{y \cdot 17}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{y \cdot 17}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.2.2.1.4.2

Déplacez $17$ à gauche de $y$ .

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.3

Résolvez $y$ dans $- 8 + \frac{17 y}{3} = 11$ .

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Étape 3.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.1.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{17 y}{3} = 11 + 8$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.3.1.2

Additionnez $11$ et $8$ .

$\frac{17 y}{3} = 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$\frac{17 y}{3} = 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{17}$ .

$\frac{3}{17} \cdot \frac{17 y}{3} = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.3.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1

Simplifiez $\frac{3}{17} \cdot \frac{17 y}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{17} \cdot \frac{17 y}{3} = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.3.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{17} \cdot (17 y) = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{17} \cdot (17 y) = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $17$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1.2.1

Factorisez $17$ à partir de $17 y$ .

$\frac{1}{17} \cdot (17 (y)) = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{17} \cdot (17 y) = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1

Multipliez $\frac{3}{17} \cdot 19$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1.1

Associez $\frac{3}{17}$ et $19$ .

$y = \frac{3 \cdot 19}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.3.3.2.1.2

Multipliez $3$ par $19$ .

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $\frac{57}{17}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - 2 + \frac{2 y}{3}$ par $\frac{57}{17}$ .

$x = - 2 + \frac{2 (\frac{57}{17})}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez $- 2 + \frac{2 (\frac{57}{17})}{3}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1.1

Associez $2$ et $\frac{57}{17}$ .

$x = - 2 + \frac{\frac{2 \cdot 57}{17}}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $57$ .

$x = - 2 + \frac{\frac{114}{17}}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

Étape 3.4.2.1.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - 2 + \frac{114}{17} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

Étape 3.4.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $114$ .

$x = - 2 + \frac{3 (38)}{17} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

Étape 3.4.2.1.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$x = - 2 + \frac{3 \cdot 38}{17} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

Étape 3.4.2.1.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$x = - 2 + \frac{38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

Étape 3.4.2.1.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{17}{17}$ .

$x = - 2 \cdot \frac{17}{17} + \frac{38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

Étape 3.4.2.1.3

Associez $- 2$ et $\frac{17}{17}$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 17}{17} + \frac{38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

Étape 3.4.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 2 \cdot 17 + 38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

Étape 3.4.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $17$ .

$x = \frac{- 34 + 38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

Étape 3.4.2.1.5.2

Additionnez $- 34$ et $38$ .

$x = \frac{4}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = \frac{4}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = \frac{4}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = \frac{4}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = \frac{4}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

Étape 3.5

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{4}{17}, y = \frac{57}{17}$