Ensembles finis Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x & - 42 & - 14 - 27 & z & 18 10 & 8 & 65 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - 2 ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 9 & 4 & 3 9 & 10 & 4 - 9 & y & 10 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = - 5 ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 10 & 4 9 & 8 & - 2 w & - 4 & - 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x & - 42 & - 14 \\ - 27 & z & 18 \\ 10 & 8 & 65 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} - 9 & 4 & 3 \\ 9 & 10 & 4 \\ - 9 & y & 10 \end{array}] = - 5 [\begin{array}{c} 2 & 10 & 4 \\ 9 & 8 & - 2 \\ w & - 4 & - 9 \end{array}]$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez

- 2

$- 2$ par chaque élément de la matrice.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x & - 42 & - 14 - 27 & z & 18 10 & 8 & 65 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 2 \cdot - 9 & - 2 \cdot 4 & - 2 \cdot 3 - 2 \cdot 9 & - 2 \cdot 10 & - 2 \cdot 4 - 2 \cdot - 9 & - 2 y & - 2 \cdot 10 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = - 5 ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 10 & 4 9 & 8 & - 2 w & - 4 & - 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x & - 42 & - 14 \\ - 27 & z & 18 \\ 10 & 8 & 65 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot - 9 & - 2 \cdot 4 & - 2 \cdot 3 \\ - 2 \cdot 9 & - 2 \cdot 10 & - 2 \cdot 4 \\ - 2 \cdot - 9 & - 2 y & - 2 \cdot 10 \end{array}] = - 5 [\begin{array}{c} 2 & 10 & 4 \\ 9 & 8 & - 2 \\ w & - 4 & - 9 \end{array}]$

Étape 1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.2.1

Multipliez

- 2

$- 2$ par

- 9

$- 9$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x & - 42 & - 14 - 27 & z & 18 10 & 8 & 65 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 18 & - 2 \cdot 4 & - 2 \cdot 3 - 2 \cdot 9 & - 2 \cdot 10 & - 2 \cdot 4 - 2 \cdot - 9 & - 2 y & - 2 \cdot 10 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = - 5 ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 10 & 4 9 & 8 & - 2 w & - 4 & - 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x & - 42 & - 14 \\ - 27 & z & 18 \\ 10 & 8 & 65 \end{array}] + [\begin{array}{c} 18 & - 2 \cdot 4 & - 2 \cdot 3 \\ - 2 \cdot 9 & - 2 \cdot 10 & - 2 \cdot 4 \\ - 2 \cdot - 9 & - 2 y & - 2 \cdot 10 \end{array}] = - 5 [\begin{array}{c} 2 & 10 & 4 \\ 9 & 8 & - 2 \\ w & - 4 & - 9 \end{array}]$

Étape 1.2.2

Multipliez

- 2

$- 2$ par

4

$4$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x & - 42 & - 14 - 27 & z & 18 10 & 8 & 65 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 18 & - 8 & - 2 \cdot 3 - 2 \cdot 9 & - 2 \cdot 10 & - 2 \cdot 4 - 2 \cdot - 9 & - 2 y & - 2 \cdot 10 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = - 5 ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 10 & 4 9 & 8 & - 2 w & - 4 & - 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x & - 42 & - 14 \\ - 27 & z & 18 \\ 10 & 8 & 65 \end{array}] + [\begin{array}{c} 18 & - 8 & - 2 \cdot 3 \\ - 2 \cdot 9 & - 2 \cdot 10 & - 2 \cdot 4 \\ - 2 \cdot - 9 & - 2 y & - 2 \cdot 10 \end{array}] = - 5 [\begin{array}{c} 2 & 10 & 4 \\ 9 & 8 & - 2 \\ w & - 4 & - 9 \end{array}]$

Étape 1.2.3

Multipliez

- 2

$- 2$ par

3

$3$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x & - 42 & - 14 - 27 & z & 18 10 & 8 & 65 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 18 & - 8 & - 6 - 2 \cdot 9 & - 2 \cdot 10 & - 2 \cdot 4 - 2 \cdot - 9 & - 2 y & - 2 \cdot 10 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = - 5 ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 10 & 4 9 & 8 & - 2 w & - 4 & - 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x & - 42 & - 14 \\ - 27 & z & 18 \\ 10 & 8 & 65 \end{array}] + [\begin{array}{c} 18 & - 8 & - 6 \\ - 2 \cdot 9 & - 2 \cdot 10 & - 2 \cdot 4 \\ - 2 \cdot - 9 & - 2 y & - 2 \cdot 10 \end{array}] = - 5 [\begin{array}{c} 2 & 10 & 4 \\ 9 & 8 & - 2 \\ w & - 4 & - 9 \end{array}]$

Étape 1.2.4

Multipliez

$- 2$ par

$9$ .

$[\begin{array}{c} x & - 42 & - 14 \\ - 27 & z & 18 \\ 10 & 8 & 65 \end{array}] + [\begin{array}{c} 18 & - 8 & - 6 \\ - 18 & - 2 \cdot 10 & - 2 \cdot 4 \\ - 2 \cdot - 9 & - 2 y & - 2 \cdot 10 \end{array}] = - 5 [\begin{array}{c} 2 & 10 & 4 \\ 9 & 8 & - 2 \\ w & - 4 & - 9 \end{array}]$

Étape 1.2.5

Multipliez

$- 2$ par

$10$ .

$[\begin{array}{c} x & - 42 & - 14 \\ - 27 & z & 18 \\ 10 & 8 & 65 \end{array}] + [\begin{array}{c} 18 & - 8 & - 6 \\ - 18 & - 20 & - 2 \cdot 4 \\ - 2 \cdot - 9 & - 2 y & - 2 \cdot 10 \end{array}] = - 5 [\begin{array}{c} 2 & 10 & 4 \\ 9 & 8 & - 2 \\ w & - 4 & - 9 \end{array}]$

Étape 1.2.6

Multipliez

$- 2$ par

$4$ .

$[\begin{array}{c} x & - 42 & - 14 \\ - 27 & z & 18 \\ 10 & 8 & 65 \end{array}] + [\begin{array}{c} 18 & - 8 & - 6 \\ - 18 & - 20 & - 8 \\ - 2 \cdot - 9 & - 2 y & - 2 \cdot 10 \end{array}] = - 5 [\begin{array}{c} 2 & 10 & 4 \\ 9 & 8 & - 2 \\ w & - 4 & - 9 \end{array}]$

Étape 1.2.7

Multipliez

$- 2$ par

$- 9$ .

$[\begin{array}{c} x & - 42 & - 14 \\ - 27 & z & 18 \\ 10 & 8 & 65 \end{array}] + [\begin{array}{c} 18 & - 8 & - 6 \\ - 18 & - 20 & - 8 \\ 18 & - 2 y & - 2 \cdot 10 \end{array}] = - 5 [\begin{array}{c} 2 & 10 & 4 \\ 9 & 8 & - 2 \\ w & - 4 & - 9 \end{array}]$

Étape 1.2.8

Multipliez

$- 2$ par

$10$ .

$[\begin{array}{c} x & - 42 & - 14 \\ - 27 & z & 18 \\ 10 & 8 & 65 \end{array}] + [\begin{array}{c} 18 & - 8 & - 6 \\ - 18 & - 20 & - 8 \\ 18 & - 2 y & - 20 \end{array}] = - 5 [\begin{array}{c} 2 & 10 & 4 \\ 9 & 8 & - 2 \\ w & - 4 & - 9 \end{array}]$

Étape 2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} x + 18 & - 42 - 8 & - 14 - 6 \\ - 27 - 18 & z - 20 & 18 - 8 \\ 10 + 18 & 8 - 2 y & 65 - 20 \end{array}] = - 5 [\begin{array}{c} 2 & 10 & 4 \\ 9 & 8 & - 2 \\ w & - 4 & - 9 \end{array}]$

Étape 3

Simplify each element.

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Étape 3.1

Soustrayez

$8$ de

$- 42$ .

$[\begin{array}{c} x + 18 & - 50 & - 14 - 6 \\ - 27 - 18 & z - 20 & 18 - 8 \\ 10 + 18 & 8 - 2 y & 65 - 20 \end{array}] = - 5 [\begin{array}{c} 2 & 10 & 4 \\ 9 & 8 & - 2 \\ w & - 4 & - 9 \end{array}]$

Étape 3.2

Soustrayez

$6$ de

$- 14$ .

$[\begin{array}{c} x + 18 & - 50 & - 20 \\ - 27 - 18 & z - 20 & 18 - 8 \\ 10 + 18 & 8 - 2 y & 65 - 20 \end{array}] = - 5 [\begin{array}{c} 2 & 10 & 4 \\ 9 & 8 & - 2 \\ w & - 4 & - 9 \end{array}]$

Étape 3.3

Soustrayez

$18$ de

$- 27$ .

$[\begin{array}{c} x + 18 & - 50 & - 20 \\ - 45 & z - 20 & 18 - 8 \\ 10 + 18 & 8 - 2 y & 65 - 20 \end{array}] = - 5 [\begin{array}{c} 2 & 10 & 4 \\ 9 & 8 & - 2 \\ w & - 4 & - 9 \end{array}]$

Étape 3.4

Soustrayez

$8$ de

$18$ .

$[\begin{array}{c} x + 18 & - 50 & - 20 \\ - 45 & z - 20 & 10 \\ 10 + 18 & 8 - 2 y & 65 - 20 \end{array}] = - 5 [\begin{array}{c} 2 & 10 & 4 \\ 9 & 8 & - 2 \\ w & - 4 & - 9 \end{array}]$

Étape 3.5

Additionnez

$10$ et

$18$ .

$[\begin{array}{c} x + 18 & - 50 & - 20 \\ - 45 & z - 20 & 10 \\ 28 & 8 - 2 y & 65 - 20 \end{array}] = - 5 [\begin{array}{c} 2 & 10 & 4 \\ 9 & 8 & - 2 \\ w & - 4 & - 9 \end{array}]$

Étape 3.6

Soustrayez

$20$ de

$65$ .

$[\begin{array}{c} x + 18 & - 50 & - 20 \\ - 45 & z - 20 & 10 \\ 28 & 8 - 2 y & 45 \end{array}] = - 5 [\begin{array}{c} 2 & 10 & 4 \\ 9 & 8 & - 2 \\ w & - 4 & - 9 \end{array}]$

Étape 4

Multipliez

$- 5$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} x + 18 & - 50 & - 20 \\ - 45 & z - 20 & 10 \\ 28 & 8 - 2 y & 45 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 5 \cdot 2 & - 5 \cdot 10 & - 5 \cdot 4 \\ - 5 \cdot 9 & - 5 \cdot 8 & - 5 \cdot - 2 \\ - 5 w & - 5 \cdot - 4 & - 5 \cdot - 9 \end{array}]$

Étape 5

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 5.1

Multipliez

$- 5$ par

$2$ .

$[\begin{array}{c} x + 18 & - 50 & - 20 \\ - 45 & z - 20 & 10 \\ 28 & 8 - 2 y & 45 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 10 & - 5 \cdot 10 & - 5 \cdot 4 \\ - 5 \cdot 9 & - 5 \cdot 8 & - 5 \cdot - 2 \\ - 5 w & - 5 \cdot - 4 & - 5 \cdot - 9 \end{array}]$

Étape 5.2

Multipliez

$- 5$ par

$10$ .

$[\begin{array}{c} x + 18 & - 50 & - 20 \\ - 45 & z - 20 & 10 \\ 28 & 8 - 2 y & 45 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 10 & - 50 & - 5 \cdot 4 \\ - 5 \cdot 9 & - 5 \cdot 8 & - 5 \cdot - 2 \\ - 5 w & - 5 \cdot - 4 & - 5 \cdot - 9 \end{array}]$

Étape 5.3

Multipliez

$- 5$ par

$4$ .

$[\begin{array}{c} x + 18 & - 50 & - 20 \\ - 45 & z - 20 & 10 \\ 28 & 8 - 2 y & 45 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 10 & - 50 & - 20 \\ - 5 \cdot 9 & - 5 \cdot 8 & - 5 \cdot - 2 \\ - 5 w & - 5 \cdot - 4 & - 5 \cdot - 9 \end{array}]$

Étape 5.4

Multipliez

$- 5$ par

$9$ .

$[\begin{array}{c} x + 18 & - 50 & - 20 \\ - 45 & z - 20 & 10 \\ 28 & 8 - 2 y & 45 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 10 & - 50 & - 20 \\ - 45 & - 5 \cdot 8 & - 5 \cdot - 2 \\ - 5 w & - 5 \cdot - 4 & - 5 \cdot - 9 \end{array}]$

Étape 5.5

Multipliez

$- 5$ par

$8$ .

$[\begin{array}{c} x + 18 & - 50 & - 20 \\ - 45 & z - 20 & 10 \\ 28 & 8 - 2 y & 45 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 10 & - 50 & - 20 \\ - 45 & - 40 & - 5 \cdot - 2 \\ - 5 w & - 5 \cdot - 4 & - 5 \cdot - 9 \end{array}]$

Étape 5.6

Multipliez

$- 5$ par

$- 2$ .

$[\begin{array}{c} x + 18 & - 50 & - 20 \\ - 45 & z - 20 & 10 \\ 28 & 8 - 2 y & 45 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 10 & - 50 & - 20 \\ - 45 & - 40 & 10 \\ - 5 w & - 5 \cdot - 4 & - 5 \cdot - 9 \end{array}]$

Étape 5.7

Multipliez

$- 5$ par

$- 4$ .

$[\begin{array}{c} x + 18 & - 50 & - 20 \\ - 45 & z - 20 & 10 \\ 28 & 8 - 2 y & 45 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 10 & - 50 & - 20 \\ - 45 & - 40 & 10 \\ - 5 w & 20 & - 5 \cdot - 9 \end{array}]$

Étape 5.8

Multipliez

$- 5$ par

$- 9$ .

$[\begin{array}{c} x + 18 & - 50 & - 20 \\ - 45 & z - 20 & 10 \\ 28 & 8 - 2 y & 45 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 10 & - 50 & - 20 \\ - 45 & - 40 & 10 \\ - 5 w & 20 & 45 \end{array}]$

Étape 6

Write as a linear system of equations.

$x + 18 = - 10$

$- 50 = - 50$

$- 20 = - 20$

$- 45 = - 45$

$z - 20 = - 40$

$10 = 10$

$28 = - 5 w$

$8 - 2 y = 20$

$45 = 45$

Étape 7

Since

$45 = 45$ is always true, the matrix equation has infinite solutions.

Infinite solutions satisfying the system.