Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} - 4 & - 2 \\ 3 & - 5 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] + [\begin{array}{c} 13 \\ - 14 \end{array}] = [\begin{array}{c} 23 \\ - 28 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} - 4 & - 2 \\ 3 & - 5 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Deux matrices peuvent être multipliées si et seulement si le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Dans ce cas, la première matrice est $2 \times 2$ et la deuxième matrice est $2 \times 1$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} - 4 x - 2 y \\ 3 x - 5 y \end{array}] + [\begin{array}{c} 13 \\ - 14 \end{array}] = [\begin{array}{c} 23 \\ - 28 \end{array}]$

Étape 2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} - 4 x - 2 y + 13 \\ 3 x - 5 y - 14 \end{array}] = [\begin{array}{c} 23 \\ - 28 \end{array}]$

Étape 3

Écrivez comme un système linéaire d’équations.

$- 4 x - 2 y + 13 = 23$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Étape 4

Résolvez le système d’équations.

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Étape 4.1

Résolvez $x$ dans $- 4 x - 2 y + 13 = 23$ .

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Étape 4.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1.1.1

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 x + 13 = 23 + 2 y$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Étape 4.1.1.2

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x = 23 + 2 y - 13$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Étape 4.1.1.3

Soustrayez $13$ de $23$ .

$- 4 x = 2 y + 10$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$- 4 x = 2 y + 10$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Étape 4.1.2

Divisez chaque terme dans $- 4 x = 2 y + 10$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 4.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x = 2 y + 10$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{2 y}{- 4} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 4.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{2 y}{- 4} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Étape 4.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2 y}{- 4} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = \frac{2 y}{- 4} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = \frac{2 y}{- 4} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 4$ .

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Étape 4.1.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$x = \frac{2 (y)}{- 4} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Étape 4.1.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$x = \frac{2 y}{2 \cdot - 2} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Étape 4.1.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 y}{2 \cdot - 2} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Étape 4.1.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{y}{- 2} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = \frac{y}{- 2} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = \frac{y}{- 2} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Étape 4.1.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Étape 4.1.2.3.1.3

Annulez le facteur commun à $10$ et $- 4$ .

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Étape 4.1.2.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$x = - \frac{y}{2} + \frac{2 (5)}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Étape 4.1.2.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.3.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$x = - \frac{y}{2} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Étape 4.1.2.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Étape 4.1.2.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{5}{- 2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} + \frac{5}{- 2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} + \frac{5}{- 2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Étape 4.1.2.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Étape 4.2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 4.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $3 x - 5 y - 14 = - 28$ par $- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$ .

$3 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez $3 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 5 y - 14$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (- \frac{y}{2}) + 3 (- \frac{5}{2}) - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Multipliez $3 (- \frac{y}{2})$ .

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Étape 4.2.2.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \frac{y}{2} + 3 (- \frac{5}{2}) - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{y}{2}$ .

$\frac{- 3 y}{2} + 3 (- \frac{5}{2}) - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$\frac{- 3 y}{2} + 3 (- \frac{5}{2}) - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.1.3

Multipliez $3 (- \frac{5}{2})$ .

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Étape 4.2.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 3 y}{2} - 3 (\frac{5}{2}) - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.1.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 3 y}{2} + \frac{- 3 \cdot 5}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$\frac{- 3 y}{2} + \frac{- 15}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$\frac{- 3 y}{2} + \frac{- 15}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 y}{2} + \frac{- 15}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.1.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 y}{2} - \frac{15}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{3 y}{2} - \frac{15}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{3 y}{2} - \frac{15}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Pour écrire $- 5 y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 y}{2} - 5 y \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2} - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.3

Associez $- 5 y$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 y}{2} + \frac{- 5 y \cdot 2}{2} - \frac{15}{2} - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 y - 5 y \cdot 2}{2} - \frac{15}{2} - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 14 + \frac{- 3 y - 5 y \cdot 2 - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.6

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$- 14 + \frac{- 3 y - 10 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.7

Soustrayez $10 y$ de $- 3 y$ .

$- 14 + \frac{- 13 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.8

Pour écrire $- 14$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 14 \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 13 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.9

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.2.1.9.1

Associez $- 14$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 14 \cdot 2}{2} + \frac{- 13 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 14 \cdot 2 - 13 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$\frac{- 14 \cdot 2 - 13 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1.10.1

Multipliez $- 14$ par $2$ .

$\frac{- 28 - 13 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.10.2

Soustrayez $15$ de $- 28$ .

$\frac{- 13 y - 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$\frac{- 13 y - 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.11

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.2.2.1.11.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 13 y$ .

$\frac{- (13 y) - 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.11.2

Réécrivez $- 43$ comme $- 1 (43)$ .

$\frac{- (13 y) - 1 \cdot 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.11.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (13 y) - 1 (43)$ .

$\frac{- (13 y + 43)}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.11.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.11.4.1

Réécrivez $- (13 y + 43)$ comme $- 1 (13 y + 43)$ .

$\frac{- 1 (13 y + 43)}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.2.1.11.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.3

Résolvez $y$ dans $- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{13 y + 43}{2}) = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{13 y + 43}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{13 y + 43}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- (13 y + 43)}{2} = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.3.2.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) (\frac{- (13 y + 43)}{2}) = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.3.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot (- 1 \frac{- (13 y + 43)}{2}) = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.3.2.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$13 y + 43 = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y + 43 = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.3.2.1.1.2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (13 y + 43) = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.3.2.1.1.2.2

Multipliez $13 y + 43$ par $1$ .

$13 y + 43 = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y + 43 = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y + 43 = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y + 43 = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 28$ .

$13 y + 43 = 56$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y + 43 = 56$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y + 43 = 56$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Soustrayez $43$ des deux côtés de l’équation.

$13 y = 56 - 43$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.3.3.2

Soustrayez $43$ de $56$ .

$13 y = 13$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y = 13$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.3.4

Divisez chaque terme dans $13 y = 13$ par $13$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Divisez chaque terme dans $13 y = 13$ par $13$ .

$\frac{13 y}{13} = \frac{13}{13}$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{13 y}{13} = \frac{13}{13}$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{13}{13}$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$y = \frac{13}{13}$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$y = \frac{13}{13}$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.3.1

Divisez $13$ par $13$ .

$y = 1$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$y = 1$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$y = 1$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$y = 1$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $1$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$ par $1$ .

$x = - \frac{1}{2} - \frac{5}{2}$

$y = 1$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Simplifiez $- \frac{1}{2} - \frac{5}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 1 - 5}{2}$

$y = 1$

Étape 4.4.2.1.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1.2.1

Soustrayez $5$ de $- 1$ .

$x = \frac{- 6}{2}$

$y = 1$

Étape 4.4.2.1.2.2

Divisez $- 6$ par $2$ .

$x = - 3$

$y = 1$

$x = - 3$

$y = 1$

$x = - 3$

$y = 1$

$x = - 3$

$y = 1$

$x = - 3$

$y = 1$

Étape 4.5

Indiquez toutes les solutions.

$x = - 3, y = 1$