Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1

Une fonction rationnelle est toute fonction qui peut être écrite comme le rapport de deux fonctions polynomiales où le dénominateur n’est pas $0$ .

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ est une fonction rationnelle

Étape 2

Une fonction rationnelle est convenable lorsque le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur, autrement elle n’est pas convenable.

Le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur implique une fonction correcte

Le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur implique une fonction irrégulière

Le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur implique une fonction irrégulière

Étape 3

Déterminez le degré du numérateur.

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Étape 3.1

Simplifiez et remettez le polynôme dans l’ordre.

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Étape 3.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

${(3 x)}^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$3^{3} x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Étape 3.1.2.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Étape 3.1.2.3

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Étape 3.1.2.4

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.4.1

Déplacez $3^{2}$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Étape 3.1.2.4.2

Multipliez $3^{2}$ par $3$ .

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Étape 3.1.2.4.2.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Étape 3.1.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Étape 3.1.2.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Étape 3.1.2.5

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 x^{3} + 27 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Étape 3.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Étape 3.1.2.7

Multipliez $3$ par $3$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Étape 3.1.2.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Étape 3.1.2.9

Multipliez $9$ par $1$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x + {(- 1)}^{3}$

Étape 3.1.2.10

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1$

Étape 3.2

Le plus grand exposant est le degré d’un polynôme.

$3$

Étape 4

Déterminez le degré du dénominateur.

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Étape 4.1

Simplifiez et remettez le polynôme dans l’ordre.

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Étape 4.1.1

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$

Étape 4.1.2

Développez $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)$

Étape 4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Étape 4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Étape 4.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Étape 4.1.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Étape 4.1.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1$

Étape 4.1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

Étape 4.2

Le plus grand exposant est le degré d’un polynôme.

$4$

Étape 5

Le degré du numérateur $3$ est inférieur au degré du dénominateur $4$ .

$3 < 4$

Étape 6

Le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur, ce qui signifie que $f (x)$ est une fonction correcte.

Régulier