Ensembles finis Exemples

$f (x) = x^{2} + x$ ,

$[- 1, 2]$

Étape 1

Le théorème de la valeur intermédiaire indique que, si

$f$ est une fonction continue à valeur réelle sur l’intervalle

$[a, b]$ et si

$u$ est un nombre compris entre

$f (a)$ et

$f (b)$ , alors il y a un

$c$ contenu dans l’intervalle

$[a, b]$ de sorte que

$f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Calculez

$f (a) = f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$ .

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Étape 3.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$

Étape 3.2

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$f (- 1) = 1 - 1$

Étape 3.3

Soustrayez

$1$ de

$1$ .

$f (- 1) = 0$

Étape 4

Calculez

$f (b) = f (2) = {(2)}^{2} + 2$ .

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Étape 4.1

Supprimez les parenthèses.

$f (2) = {(2)}^{2} + 2$

Étape 4.2

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$f (2) = 4 + 2$

Étape 4.3

Additionnez

$4$ et

$2$ .

$f (2) = 6$

Étape 5

Comme

$0$ est sur l’intervalle

$[0, 6]$ , résolvez l’équation pour

$x$ à la racine en définissant

$y$ sur

$0$ dans

$y = x^{2} + x$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme

$x^{2} + x = 0$ .

$x^{2} + x = 0$

Étape 5.2

Factorisez

$x$ à partir de

$x^{2} + x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez

$x$ à partir de

$x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Étape 5.2.2

Élevez

$x$ à la puissance

$1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez

$x$ à partir de

$x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Étape 5.2.4

Factorisez

$x$ à partir de

$x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

$0$ , l’expression entière sera égale à

$0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez

$x$ égal à

$0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez

$x + 1$ égal à

$0$ et résolvez

$x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez

$x + 1$ égal à

$0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez

$1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$x (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1$

Étape 6

Le théorème de la valeur intermédiaire indique qu’il y a une racine

$f (c) = 0$ sur l’intervalle

$[0, 6]$ car

$f$ est une fonction continue sur

$[- 1, 2]$ .

Les racines sur l’intervalle

$[- 1, 2]$ se situent sur

$x = 0, x = - 1$ .

Étape 7