Ensembles finis Exemples

$f (x) = x^{2} + x$ , $[- 1, 2]$

Étape 1

Le théorème de la valeur intermédiaire indique que, si $f$ est une fonction continue à valeur réelle sur l’intervalle $[a, b]$ et si $u$ est un nombre compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , alors il y a un $c$ contenu dans l’intervalle $[a, b]$ de sorte que $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Calculez $f (a) = f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$ .

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Étape 3.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$

Étape 3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = 1 - 1$

Étape 3.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (- 1) = 0$

Étape 4

Calculez $f (b) = f (2) = {(2)}^{2} + 2$ .

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Étape 4.1

Supprimez les parenthèses.

$f (2) = {(2)}^{2} + 2$

Étape 4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 4 + 2$

Étape 4.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$f (2) = 6$

Étape 5

Comme $0$ est sur l’intervalle $[0, 6]$ , résolvez l’équation pour $x$ à la racine en définissant $y$ sur $0$ dans $y = x^{2} + x$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} + x = 0$ .

$x^{2} + x = 0$

Étape 5.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Étape 5.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Étape 5.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1$

Étape 6

Le théorème de la valeur intermédiaire indique qu’il y a une racine $f (c) = 0$ sur l’intervalle $[0, 6]$ car $f$ est une fonction continue sur $[- 1, 2]$ .

Les racines sur l’intervalle $[- 1, 2]$ se situent sur $x = 0, x = - 1$ .

Étape 7