Ensembles finis Exemples

$y = 64 - x^{2}$ , $[- 8, 8]$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $64$ et $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 64$

Étape 2

Le théorème de la valeur intermédiaire indique que, si $f$ est une fonction continue à valeur réelle sur l’intervalle $[a, b]$ et si $u$ est un nombre compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , alors il y a un $c$ contenu dans l’intervalle $[a, b]$ de sorte que $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Calculez $f (a) = f (- 8) = - {(- 8)}^{2} + 64$ .

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$f (- 8) = - 1 \cdot 64 + 64$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$f (- 8) = - 64 + 64$

Étape 4.2

Additionnez $- 64$ et $64$ .

$f (- 8) = 0$

Étape 5

Calculez $f (b) = f (8) = - {(8)}^{2} + 64$ .

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f (8) = - 1 \cdot 64 + 64$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$f (8) = - 64 + 64$

Étape 5.2

Additionnez $- 64$ et $64$ .

$f (8) = 0$

Étape 6

Comme $0$ est sur l’intervalle $[0, 0]$ , résolvez l’équation pour $x$ à la racine en définissant $y$ sur $0$ dans $y = - x^{2} + 64$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{2} + 64 = 0$ .

$- x^{2} + 64 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 64$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 64$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 64$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 64}{- 1}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 64}{- 1}$

Étape 6.3.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 64}{- 1}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Divisez $- 64$ par $- 1$ .

$x^{2} = 64$

Étape 6.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64}$

Étape 6.5

Simplifiez $\pm \sqrt{64}$ .

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Étape 6.5.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Étape 6.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 8$

Étape 6.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 8$

Étape 6.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 8$

Étape 6.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 8, - 8$

Étape 7

Le théorème de la valeur intermédiaire indique qu’il y a une racine $f (c) = 0$ sur l’intervalle $[0, 0]$ car $f$ est une fonction continue sur $[- 8, 8]$ .

Les racines sur l’intervalle $[- 8, 8]$ se situent sur $x = 8, x = - 8$ .

Étape 8