Ensembles finis Exemples

$(5, 6)$ , $x + 6 y = 5$

Étape 1

Résolvez l’équation pour $y$ dans les termes de $x$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$6 y = 5 - x$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $6 y = 5 - x$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans $6 y = 5 - x$ par $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{5}{6} + \frac{- x}{6}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y}{6} = \frac{5}{6} + \frac{- x}{6}$

Étape 1.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5}{6} + \frac{- x}{6}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{5}{6} - \frac{x}{6}$

Étape 2

Le théorème de la valeur intermédiaire indique que, si $f$ est une fonction continue à valeur réelle sur l’intervalle $[a, b]$ et si $u$ est un nombre compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , alors il y a un $c$ contenu dans l’intervalle $[a, b]$ de sorte que $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Calculez $f (a) = f (5) = \frac{5}{6} - \frac{5}{6}$ .

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Étape 4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (5) = \frac{5 - 5}{6}$

Étape 4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f (5) = \frac{0}{6}$

Étape 4.2.2

Divisez $0$ par $6$ .

$f (5) = 0$

Étape 5

Calculez $f (b) = f (6) = \frac{5}{6} - \frac{6}{6}$ .

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (6) = \frac{5 - 6}{6}$

Étape 5.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $6$ de $5$ .

$f (6) = \frac{- 1}{6}$

Étape 5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (6) = - \frac{1}{6}$

Étape 6

Comme $0$ est sur l’intervalle $[- \frac{1}{6}, 0]$ , résolvez l’équation pour $x$ à la racine en définissant $y$ sur $0$ dans $y = \frac{5}{6} - \frac{x}{6}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{5}{6} - \frac{x}{6} = 0$ .

$\frac{5}{6} - \frac{x}{6} = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $\frac{5}{6}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{x}{6} = - \frac{5}{6}$

Étape 6.3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$- x = - 5$

Étape 6.4

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.4.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.3.1

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$x = 5$

Étape 7

Le théorème de la valeur intermédiaire indique qu’il y a une racine $f (c) = 0$ sur l’intervalle $[- \frac{1}{6}, 0]$ car $f$ est une fonction continue sur $[5, 6]$ .

Les racines sur l’intervalle $[5, 6]$ se situent sur .

Étape 8