Ensembles finis Exemples

$12 - \frac{3}{8} (2 t^{2} - 26 t + 89)$

Étape 1

Appliquez la propriété distributive.

$12 - \frac{3}{8} (2 t^{2}) - \frac{3}{8} (- 26 t) - \frac{3}{8} \cdot 89$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{8}$ dans le numérateur.

$12 + \frac{- 3}{8} (2 t^{2}) - \frac{3}{8} (- 26 t) - \frac{3}{8} \cdot 89$

Étape 2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$12 + \frac{- 3}{2 (4)} (2 t^{2}) - \frac{3}{8} (- 26 t) - \frac{3}{8} \cdot 89$

Étape 2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 t^{2}$ .

$12 + \frac{- 3}{2 (4)} (2 (t^{2})) - \frac{3}{8} (- 26 t) - \frac{3}{8} \cdot 89$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun.

$12 + \frac{- 3}{2 \cdot 4} (2 t^{2}) - \frac{3}{8} (- 26 t) - \frac{3}{8} \cdot 89$

Étape 2.1.5

Réécrivez l’expression.

$12 + \frac{- 3}{4} t^{2} - \frac{3}{8} (- 26 t) - \frac{3}{8} \cdot 89$

Étape 2.2

Associez $\frac{- 3}{4}$ et $t^{2}$ .

$12 + \frac{- 3 t^{2}}{4} - \frac{3}{8} (- 26 t) - \frac{3}{8} \cdot 89$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{8}$ dans le numérateur.

$12 + \frac{- 3 t^{2}}{4} + \frac{- 3}{8} (- 26 t) - \frac{3}{8} \cdot 89$

Étape 2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$12 + \frac{- 3 t^{2}}{4} + \frac{- 3}{2 (4)} (- 26 t) - \frac{3}{8} \cdot 89$

Étape 2.3.3

Factorisez $2$ à partir de $- 26 t$ .

$12 + \frac{- 3 t^{2}}{4} + \frac{- 3}{2 (4)} (2 (- 13 t)) - \frac{3}{8} \cdot 89$

Étape 2.3.4

Annulez le facteur commun.

$12 + \frac{- 3 t^{2}}{4} + \frac{- 3}{2 \cdot 4} (2 (- 13 t)) - \frac{3}{8} \cdot 89$

Étape 2.3.5

Réécrivez l’expression.

$12 + \frac{- 3 t^{2}}{4} + \frac{- 3}{4} (- 13 t) - \frac{3}{8} \cdot 89$

Étape 2.4

Associez $- 13$ et $\frac{- 3}{4}$ .

$12 + \frac{- 3 t^{2}}{4} + \frac{- 13 \cdot - 3}{4} t - \frac{3}{8} \cdot 89$

Étape 2.5

Multipliez $- 13$ par $- 3$ .

$12 + \frac{- 3 t^{2}}{4} + \frac{39}{4} t - \frac{3}{8} \cdot 89$

Étape 2.6

Associez $\frac{39}{4}$ et $t$ .

$12 + \frac{- 3 t^{2}}{4} + \frac{39 t}{4} - \frac{3}{8} \cdot 89$

Étape 2.7

Multipliez $- \frac{3}{8} \cdot 89$ .

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Étape 2.7.1

Multipliez $89$ par $- 1$ .

$12 + \frac{- 3 t^{2}}{4} + \frac{39 t}{4} - 89 (\frac{3}{8})$

Étape 2.7.2

Associez $- 89$ et $\frac{3}{8}$ .

$12 + \frac{- 3 t^{2}}{4} + \frac{39 t}{4} + \frac{- 89 \cdot 3}{8}$

Étape 2.7.3

Multipliez $- 89$ par $3$ .

$12 + \frac{- 3 t^{2}}{4} + \frac{39 t}{4} + \frac{- 267}{8}$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$12 - \frac{3 t^{2}}{4} + \frac{39 t}{4} + \frac{- 267}{8}$

Étape 3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$12 - \frac{3 t^{2}}{4} + \frac{39 t}{4} - \frac{267}{8}$

Étape 4

Pour écrire $12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{3 t^{2}}{4} + \frac{39 t}{4} + 12 \cdot \frac{8}{8} - \frac{267}{8}$

Étape 5

Associez $12$ et $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{3 t^{2}}{4} + \frac{39 t}{4} + \frac{12 \cdot 8}{8} - \frac{267}{8}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{3 t^{2}}{4} + \frac{39 t}{4} + \frac{12 \cdot 8 - 267}{8}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $12$ par $8$ .

$- \frac{3 t^{2}}{4} + \frac{39 t}{4} + \frac{96 - 267}{8}$

Étape 7.2

Soustrayez $267$ de $96$ .

$- \frac{3 t^{2}}{4} + \frac{39 t}{4} + \frac{- 171}{8}$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 t^{2}}{4} + \frac{39 t}{4} - \frac{171}{8}$

Étape 9

Utiliser la formule quadratique pour déterminer les racines pour $- \frac{3 t^{2}}{4} + \frac{39 t}{4} - \frac{171}{8} = 0$

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Étape 9.1

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $8$ , puis simplifiez.

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Étape 9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 (- \frac{3 t^{2}}{4}) + 8 (\frac{39 t}{4}) + 8 (- \frac{171}{8}) = 0$

Étape 9.1.2

Simplifiez

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Étape 9.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.1.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 t^{2}}{4}$ dans le numérateur.

$8 (\frac{- 3 t^{2}}{4}) + 8 (\frac{39 t}{4}) + 8 (- \frac{171}{8}) = 0$

Étape 9.1.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 (2) (\frac{- 3 t^{2}}{4}) + 8 (\frac{39 t}{4}) + 8 (- \frac{171}{8}) = 0$

Étape 9.1.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot (2 (\frac{- 3 t^{2}}{4})) + 8 (\frac{39 t}{4}) + 8 (- \frac{171}{8}) = 0$

Étape 9.1.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$2 (- 3 t^{2}) + 8 (\frac{39 t}{4}) + 8 (- \frac{171}{8}) = 0$

Étape 9.1.2.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- 6 t^{2} + 8 (\frac{39 t}{4}) + 8 (- \frac{171}{8}) = 0$

Étape 9.1.2.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.1.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$- 6 t^{2} + 4 (2) (\frac{39 t}{4}) + 8 (- \frac{171}{8}) = 0$

Étape 9.1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$- 6 t^{2} + 4 \cdot (2 (\frac{39 t}{4})) + 8 (- \frac{171}{8}) = 0$

Étape 9.1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 6 t^{2} + 2 (39 t) + 8 (- \frac{171}{8}) = 0$

Étape 9.1.2.4

Multipliez $39$ par $2$ .

$- 6 t^{2} + 78 t + 8 (- \frac{171}{8}) = 0$

Étape 9.1.2.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 9.1.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{171}{8}$ dans le numérateur.

$- 6 t^{2} + 78 t + 8 (\frac{- 171}{8}) = 0$

Étape 9.1.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$- 6 t^{2} + 78 t + 8 (\frac{- 171}{8}) = 0$

Étape 9.1.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$- 6 t^{2} + 78 t - 171 = 0$

Étape 9.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 9.3

Remplacez les valeurs $a = - 6$ , $b = 78$ et $c = - 171$ dans la formule quadratique et résolvez pour $t$ .

$\frac{- 78 \pm \sqrt{78^{2} - 4 \cdot (- 6 \cdot - 171)}}{2 \cdot - 6}$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.1.1

Élevez $78$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{- 78 \pm \sqrt{6084 - 4 \cdot - 6 \cdot - 171}}{2 \cdot - 6}$

Étape 9.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 6 \cdot - 171$ .

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Étape 9.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$t = \frac{- 78 \pm \sqrt{6084 + 24 \cdot - 171}}{2 \cdot - 6}$

Étape 9.4.1.2.2

Multipliez $24$ par $- 171$ .

$t = \frac{- 78 \pm \sqrt{6084 - 4104}}{2 \cdot - 6}$

Étape 9.4.1.3

Soustrayez $4104$ de $6084$ .

$t = \frac{- 78 \pm \sqrt{1980}}{2 \cdot - 6}$

Étape 9.4.1.4

Réécrivez $1980$ comme $6^{2} \cdot 55$ .

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Étape 9.4.1.4.1

Factorisez $36$ à partir de $1980$ .

$t = \frac{- 78 \pm \sqrt{36 (55)}}{2 \cdot - 6}$

Étape 9.4.1.4.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$t = \frac{- 78 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 55}}{2 \cdot - 6}$

Étape 9.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$t = \frac{- 78 \pm 6 \sqrt{55}}{2 \cdot - 6}$

Étape 9.4.2

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$t = \frac{- 78 \pm 6 \sqrt{55}}{- 12}$

Étape 9.4.3

Simplifiez $\frac{- 78 \pm 6 \sqrt{55}}{- 12}$ .

$t = \frac{13 \pm \sqrt{55}}{2}$

Étape 9.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$t = \frac{13 + \sqrt{55}}{2}, \frac{13 - \sqrt{55}}{2}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$t = \frac{13 + \sqrt{55}}{2}, \frac{13 - \sqrt{55}}{2}$

Forme décimale :

$t = 10.20809924 \dots, 2.79190075 \dots$