Ensembles finis Exemples

$x^{4} - x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$

Étape 1

Regroupez les termes.

$x^{4} - x^{2} - x^{3} + 2 x + 1$

Étape 2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - x^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} - x^{3} + 2 x + 1$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - x^{3} + 2 x + 1$

Étape 2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) - x^{3} + 2 x + 1$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - x^{3} + 2 x + 1$

Étape 4

Factorisez.

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Étape 4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ où $a = x$ et $i = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - x^{3} + 2 x + 1$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - x^{3} + 2 x + 1$

Étape 5

Factorisez $- x^{3} + 2 x + 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Étape 5.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1$

Étape 5.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$- {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1 + 1$

Étape 5.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- - 1 + 2 \cdot - 1 + 1$

Étape 5.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 2 \cdot - 1 + 1$

Étape 5.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 - 2 + 1$

Étape 5.3.5

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 1 + 1$

Étape 5.3.6

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0$

Étape 5.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{3} + 2 x + 1}{x + 1}$

Étape 5.5

Divisez $- x^{3} + 2 x + 1$ par $x + 1$ .

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Étape 5.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Étape 5.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

Étape 5.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 5.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{3} - x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 5.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Étape 5.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Étape 5.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Étape 5.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 5.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + x$

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 5.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$

Étape 5.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$

Étape 5.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$

Étape 5.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							+	$x$	+	$1$

Étape 5.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 1$

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$

Étape 5.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$
										$0$

Étape 5.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{2} + x + 1$

Étape 5.6

Écrivez $- x^{3} + 2 x + 1$ comme un ensemble de facteurs.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$

Étape 6

Factorisez $x + 1$ à partir de $x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$

Étape 6.2

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) - x^{2} + x + 1)$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Étape 8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 8.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x + 1) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Étape 8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Étape 8.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Étape 9

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} - x^{2} + x + 1)$

Étape 10

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - x^{2} + x + 1)$

Étape 11

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 2 x^{2} + x + 1)$