Ensembles finis Exemples

$s \cdot 1 s \cdot 2 [\begin{array}{c} 0.4 & 0.6 \\ 0.6 & 0.4 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $s$ par $s$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1

Déplacez $s$ .

$s \cdot s \cdot 1 \cdot 2 [\begin{array}{c} 0.4 & 0.6 \\ 0.6 & 0.4 \end{array}]$

Étape 1.2

Multipliez $s$ par $s$ .

$s^{2} \cdot 1 \cdot 2 [\begin{array}{c} 0.4 & 0.6 \\ 0.6 & 0.4 \end{array}]$

Étape 2

Simplifiez $s^{2} \cdot 1 \cdot 2 [\begin{array}{c} 0.4 & 0.6 \\ 0.6 & 0.4 \end{array}]$ .

$s^{2} \cdot 2 [\begin{array}{c} 0.4 & 0.6 \\ 0.6 & 0.4 \end{array}]$

Étape 3

Déplacez $2$ à gauche de $s^{2}$ .

$2 \cdot s^{2} [\begin{array}{c} 0.4 & 0.6 \\ 0.6 & 0.4 \end{array}]$

Étape 4

Multipliez $2 s^{2}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 2 s^{2} \cdot 0.4 & 2 s^{2} \cdot 0.6 \\ 2 s^{2} \cdot 0.6 & 2 s^{2} \cdot 0.4 \end{array}]$

Étape 5

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 5.1

Multipliez $0.4$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 s^{2} & 2 s^{2} \cdot 0.6 \\ 2 s^{2} \cdot 0.6 & 2 s^{2} \cdot 0.4 \end{array}]$

Étape 5.2

Multipliez $0.6$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 s^{2} & 1.2 s^{2} \\ 2 s^{2} \cdot 0.6 & 2 s^{2} \cdot 0.4 \end{array}]$

Étape 5.3

Multipliez $0.6$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 s^{2} & 1.2 s^{2} \\ 1.2 s^{2} & 2 s^{2} \cdot 0.4 \end{array}]$

Étape 5.4

Multipliez $0.4$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 s^{2} & 1.2 s^{2} \\ 1.2 s^{2} & 0.8 s^{2} \end{array}]$

Étape 6

L’inverse d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ où $a d - b c$ est le déterminant.

Étape 7

Déterminez le déterminant.

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Étape 7.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0.8 s^{2} (0.8 s^{2}) - 1.2 s^{2} (1.2 s^{2})$

Étape 7.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$0.8 \cdot 0.8 s^{2} s^{2} - 1.2 s^{2} (1.2 s^{2})$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $s^{2}$ par $s^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.2.1

Déplacez $s^{2}$ .

$0.8 \cdot 0.8 (s^{2} s^{2}) - 1.2 s^{2} (1.2 s^{2})$

Étape 7.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0.8 \cdot 0.8 s^{2 + 2} - 1.2 s^{2} (1.2 s^{2})$

Étape 7.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$0.8 \cdot 0.8 s^{4} - 1.2 s^{2} (1.2 s^{2})$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $0.8$ par $0.8$ .

$0.64 s^{4} - 1.2 s^{2} (1.2 s^{2})$

Étape 7.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$0.64 s^{4} - 1.2 \cdot 1.2 s^{2} s^{2}$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $s^{2}$ par $s^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.5.1

Déplacez $s^{2}$ .

$0.64 s^{4} - 1.2 \cdot 1.2 (s^{2} s^{2})$

Étape 7.2.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0.64 s^{4} - 1.2 \cdot 1.2 s^{2 + 2}$

Étape 7.2.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$0.64 s^{4} - 1.2 \cdot 1.2 s^{4}$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $- 1.2$ par $1.2$ .

$0.64 s^{4} - 1.44 s^{4}$

Étape 7.2.2

Soustrayez $1.44 s^{4}$ de $0.64 s^{4}$ .

$- 0.8 s^{4}$

Étape 8

Comme le déterminant est non nul, l’inverse existe.

Étape 9

Remplacez l’inverse dans la formule par les valeurs connues.

$\frac{1}{- 0.8 s^{4}} [\begin{array}{c} 0.8 s^{2} & - 1.2 s^{2} \\ - 1.2 s^{2} & 0.8 s^{2} \end{array}]$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{0.8 s^{4}} [\begin{array}{c} 0.8 s^{2} & - 1.2 s^{2} \\ - 1.2 s^{2} & 0.8 s^{2} \end{array}]$

Étape 11

Réécrivez $1$ comme $1 (1)$ .

$- \frac{1 (1)}{0.8 s^{4}} [\begin{array}{c} 0.8 s^{2} & - 1.2 s^{2} \\ - 1.2 s^{2} & 0.8 s^{2} \end{array}]$

Étape 12

Factorisez $0.8$ à partir de $0.8 s^{4}$ .

$- \frac{1 (1)}{0.8 (s^{4})} [\begin{array}{c} 0.8 s^{2} & - 1.2 s^{2} \\ - 1.2 s^{2} & 0.8 s^{2} \end{array}]$

Étape 13

Séparez les fractions.

$- (\frac{1}{0.8} \cdot \frac{1}{s^{4}}) [\begin{array}{c} 0.8 s^{2} & - 1.2 s^{2} \\ - 1.2 s^{2} & 0.8 s^{2} \end{array}]$

Étape 14

Divisez $1$ par $0.8$ .

$- (1.25 \frac{1}{s^{4}}) [\begin{array}{c} 0.8 s^{2} & - 1.2 s^{2} \\ - 1.2 s^{2} & 0.8 s^{2} \end{array}]$

Étape 15

Associez $1.25$ et $\frac{1}{s^{4}}$ .

$- \frac{1.25}{s^{4}} [\begin{array}{c} 0.8 s^{2} & - 1.2 s^{2} \\ - 1.2 s^{2} & 0.8 s^{2} \end{array}]$

Étape 16

Multipliez $- \frac{1.25}{s^{4}}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) \\ - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 17.1

Annulez le facteur commun de $s^{2}$ .

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Étape 17.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1.25}{s^{4}}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) \\ - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.1.2

Factorisez $s^{2}$ à partir de $s^{4}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1.25}{s^{2} s^{2}} (0.8 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) \\ - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.1.3

Factorisez $s^{2}$ à partir de $0.8 s^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1.25}{s^{2} s^{2}} (s^{2} \cdot 0.8) & - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) \\ - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.1.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1.25}{s^{2} s^{2}} (s^{2} \cdot 0.8) & - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) \\ - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.1.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1.25}{s^{2}} \cdot 0.8 & - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) \\ - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.2

Associez $\frac{- 1.25}{s^{2}}$ et $0.8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1.25 \cdot 0.8}{s^{2}} & - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) \\ - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.3

Multipliez $- 1.25$ par $0.8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{s^{2}} & - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) \\ - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) \\ - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.5

Multipliez $- \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2})$ .

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Étape 17.5.1

Multipliez $- 1.2$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & 1.2 \frac{1.25}{s^{4}} s^{2} \\ - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.5.2

Associez $1.2$ et $\frac{1.25}{s^{4}}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.2 \cdot 1.25}{s^{4}} s^{2} \\ - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.5.3

Multipliez $1.2$ par $1.25$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.5}{s^{4}} s^{2} \\ - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.5.4

Associez $\frac{1.5}{s^{4}}$ et $s^{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.5 s^{2}}{s^{4}} \\ - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.6

Annulez le facteur commun à $s^{2}$ et $s^{4}$ .

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Étape 17.6.1

Factorisez $s^{2}$ à partir de $1.5 s^{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{s^{2} \cdot 1.5}{s^{4}} \\ - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.6.2.1

Factorisez $s^{2}$ à partir de $s^{4}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{s^{2} \cdot 1.5}{s^{2} s^{2}} \\ - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{s^{2} \cdot 1.5}{s^{2} s^{2}} \\ - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.5}{s^{2}} \\ - \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2}) & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.7

Multipliez $- \frac{1.25}{s^{4}} (- 1.2 s^{2})$ .

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Étape 17.7.1

Multipliez $- 1.2$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.5}{s^{2}} \\ 1.2 \frac{1.25}{s^{4}} s^{2} & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.7.2

Associez $1.2$ et $\frac{1.25}{s^{4}}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.5}{s^{2}} \\ \frac{1.2 \cdot 1.25}{s^{4}} s^{2} & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.7.3

Multipliez $1.2$ par $1.25$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.5}{s^{2}} \\ \frac{1.5}{s^{4}} s^{2} & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.7.4

Associez $\frac{1.5}{s^{4}}$ et $s^{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.5}{s^{2}} \\ \frac{1.5 s^{2}}{s^{4}} & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.8

Annulez le facteur commun à $s^{2}$ et $s^{4}$ .

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Étape 17.8.1

Factorisez $s^{2}$ à partir de $1.5 s^{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.5}{s^{2}} \\ \frac{s^{2} \cdot 1.5}{s^{4}} & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.8.2.1

Factorisez $s^{2}$ à partir de $s^{4}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.5}{s^{2}} \\ \frac{s^{2} \cdot 1.5}{s^{2} s^{2}} & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.5}{s^{2}} \\ \frac{s^{2} \cdot 1.5}{s^{2} s^{2}} & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.5}{s^{2}} \\ \frac{1.5}{s^{2}} & - \frac{1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.9

Annulez le facteur commun de $s^{2}$ .

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Étape 17.9.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1.25}{s^{4}}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.5}{s^{2}} \\ \frac{1.5}{s^{2}} & \frac{- 1.25}{s^{4}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.9.2

Factorisez $s^{2}$ à partir de $s^{4}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.5}{s^{2}} \\ \frac{1.5}{s^{2}} & \frac{- 1.25}{s^{2} s^{2}} (0.8 s^{2}) \end{array}]$

Étape 17.9.3

Factorisez $s^{2}$ à partir de $0.8 s^{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.5}{s^{2}} \\ \frac{1.5}{s^{2}} & \frac{- 1.25}{s^{2} s^{2}} (s^{2} \cdot 0.8) \end{array}]$

Étape 17.9.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.5}{s^{2}} \\ \frac{1.5}{s^{2}} & \frac{- 1.25}{s^{2} s^{2}} (s^{2} \cdot 0.8) \end{array}]$

Étape 17.9.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.5}{s^{2}} \\ \frac{1.5}{s^{2}} & \frac{- 1.25}{s^{2}} \cdot 0.8 \end{array}]$

Étape 17.10

Associez $\frac{- 1.25}{s^{2}}$ et $0.8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.5}{s^{2}} \\ \frac{1.5}{s^{2}} & \frac{- 1.25 \cdot 0.8}{s^{2}} \end{array}]$

Étape 17.11

Multipliez $- 1.25$ par $0.8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.5}{s^{2}} \\ \frac{1.5}{s^{2}} & \frac{- 1}{s^{2}} \end{array}]$

Étape 17.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{s^{2}} & \frac{1.5}{s^{2}} \\ \frac{1.5}{s^{2}} & - \frac{1}{s^{2}} \end{array}]$