Ensembles finis Exemples

$\tan (\frac{5 π}{6} + \frac{3 π}{4})$

Étape 1

Pour écrire $\frac{5 π}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 π}{4})$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3 π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{5 π}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 3.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{3 π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Étape 3.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{3 π \cdot 3}{12})$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\tan (\frac{5 π \cdot 2 + 3 π \cdot 3}{12})$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$\tan (\frac{10 π + 3 π \cdot 3}{12})$

Étape 5.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\tan (\frac{10 π + 9 π}{12})$

Étape 5.3

Additionnez $10 π$ et $9 π$ .

$\tan (\frac{19 π}{12})$

Étape 6

La valeur exacte de $\tan (\frac{19 π}{12})$ est $- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{19 π}{12}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\tan (\frac{\frac{19 π}{6}}{2})$

Étape 6.2

Appliquez l’identité de demi-angle de la tangente.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Étape 6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car la tangente est négative dans le quatrième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Étape 6.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$ .

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Étape 6.4.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Étape 6.4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Étape 6.4.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Étape 6.4.4

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 6.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Étape 6.4.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Étape 6.4.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Étape 6.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Étape 6.4.7

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$

Étape 6.4.8

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}}$

Étape 6.4.9

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Étape 6.4.10

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Étape 6.4.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}}$

Étape 6.4.12

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

Étape 6.4.13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.13.1

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

Étape 6.4.13.2

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}}$

Étape 6.4.14

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ par $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})}$

Étape 6.4.15

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ par $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}$

Étape 6.4.16

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Étape 6.4.17

Simplifiez

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}}$

Étape 6.4.18

Divisez $2 + \sqrt{3}$ par $1$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}$

Étape 6.4.19

Développez $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.4.19.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

Étape 6.4.19.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

Étape 6.4.19.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 6.4.20

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.4.20.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.20.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 6.4.20.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 6.4.20.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

Étape 6.4.20.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}$

Étape 6.4.20.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}$

Étape 6.4.20.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Étape 6.4.20.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$- \sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}$

Étape 6.4.20.3

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

Forme décimale :

$- 3.73205080 \dots$