Ensembles finis Exemples

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (8) + \frac{1}{2} \cdot \log_{b} (16) - \log_{b} (8)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{2}{3} \log_{b} (8) + \frac{1}{2} \log_{b} (16) - \log_{b} (8)$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $\log_{b} (8)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{1}{2} \log_{b} (16) - \log_{b} (8)$

Étape 1.1.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\log_{b} (16)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{\log_{b} (16)}{2} - \log_{b} (8)$

Étape 1.1.2

Pour écrire $- \log_{b} (8)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{2 \log_{b} (8)}{3} - \log_{b} (8) \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.3.1

Associez $- \log_{b} (8)$ et $\frac{3}{3}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{- \log_{b} (8) \cdot 3}{3}$

Étape 1.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{2 \log_{b} (8) - \log_{b} (8) \cdot 3}{3}$

Étape 1.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.4.1.1

Factorisez $\log_{b} (8)$ à partir de $2 \log_{b} (8) - \log_{b} (8) \cdot 3$ .

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Étape 1.1.4.1.1.1

Factorisez $\log_{b} (8)$ à partir de $2 \log_{b} (8)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) \cdot 2 - \log_{b} (8) \cdot 3}{3}$

Étape 1.1.4.1.1.2

Factorisez $\log_{b} (8)$ à partir de $- \log_{b} (8) \cdot 3$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) \cdot 2 + \log_{b} (8) (- 1 \cdot 3)}{3}$

Étape 1.1.4.1.1.3

Factorisez $\log_{b} (8)$ à partir de $\log_{b} (8) \cdot 2 + \log_{b} (8) (- 1 \cdot 3)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) (2 - 1 \cdot 3)}{3}$

Étape 1.1.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) (2 - 3)}{3}$

Étape 1.1.4.1.3

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) \cdot - 1}{3}$

Étape 1.1.4.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $\log_{b} (8)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{- 1 \cdot \log_{b} (8)}{3}$

Étape 1.1.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} - \frac{\log_{b} (8)}{3}$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} - \frac{\log_{b} (8)}{3}$ par $6$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} - \frac{\log_{b} (8)}{3}$ par $6$ .

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot 6 - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Déplacez $6$ à gauche de $\log_{b} (x)$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot 6 - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Étape 2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Étape 2.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$6 \log_{b} (x) = \log_{b} (16) \cdot 3 - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Étape 2.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\log_{b} (16)$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \cdot \log_{b} (16) - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Étape 2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\log_{b} (8)}{3}$ dans le numérateur.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) + \frac{- \log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Étape 2.3.1.3.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) + \frac{- \log_{b} (8)}{3} \cdot (3 (2))$

Étape 2.3.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) + \frac{- \log_{b} (8)}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Étape 2.3.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) - \log_{b} (8) \cdot 2$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) - 2 \log_{b} (8)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $6 \log_{b} (x)$ en déplaçant $6$ dans le logarithme.

$\log_{b} (x^{6}) = 3 \log_{b} (16) - 2 \log_{b} (8)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Simplifiez $3 \log_{b} (16) - 2 \log_{b} (8)$ .

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Simplifiez $3 \log_{b} (16)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (16^{3}) - 2 \log_{b} (8)$

Étape 4.1.1.2

Élevez $16$ à la puissance $3$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) - 2 \log_{b} (8)$

Étape 4.1.1.3

Simplifiez $- 2 \log_{b} (8)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) - \log_{b} (8^{2})$

Étape 4.1.1.4

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) - \log_{b} (64)$

Étape 4.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{4096}{64})$

Étape 4.1.3

Divisez $4096$ par $64$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64)$

Étape 5

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{6} = 64$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{64}$

Étape 6.2

Simplifiez $\pm \sqrt[6]{64}$ .

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Étape 6.2.1

Réécrivez $64$ comme $2^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{2^{6}}$

Étape 6.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 6.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 6.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$