Ensembles finis Exemples

${(2 x - 5 y)}^{3}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(2 x - 5 y)}^{3}$ , $n = 3$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $4$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $2 x$ et $b$ $- 5 y$ dans l’expression.

$1 {(2 x)}^{3} {(- 5 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(2 x)}^{3}$ par $1$ .

${(2 x)}^{3} {(- 5 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$2^{3} x^{3} {(- 5 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 x^{3} {(- 5 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $- 5 y$ .

$8 x^{3} ({(- 5)}^{0} y^{0}) + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 \cdot {(- 5)}^{0} x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$8 \cdot 1 x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.7

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$8 x^{3} \cdot 1 + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.9

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.10

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.11

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.12

Multipliez $4$ par $3$ .

$8 x^{3} + 12 x^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.13

Simplifiez

$8 x^{3} + 12 x^{2} (- 5 y) + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.14

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x^{3} + 12 \cdot - 5 x^{2} y + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.15

Multipliez $12$ par $- 5$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.16

Simplifiez

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 3 (2 x) {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.17

Multipliez $2$ par $3$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 6 x {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.18

Appliquez la règle de produit à $- 5 y$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 6 x ({(- 5)}^{2} y^{2}) + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.19

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 6 \cdot {(- 5)}^{2} x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.20

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 6 \cdot 25 x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.21

Multipliez $6$ par $25$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.22

Multipliez ${(2 x)}^{0}$ par $1$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.23

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + 2^{0} x^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.24

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + 1 x^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.25

Multipliez $x^{0}$ par $1$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + x^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.26

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + 1 {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.27

Multipliez ${(- 5 y)}^{3}$ par $1$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + {(- 5 y)}^{3}$

Étape 4.28

Appliquez la règle de produit à $- 5 y$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + {(- 5)}^{3} y^{3}$

Étape 4.29

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} - 125 y^{3}$