Ensembles finis Exemples

$\frac{1 + i}{1 - i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1 + i}{1 - i}$ par le conjugué de $1 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{1 + i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(1 + i) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(1 + i) (1 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (1 + i) + i (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 i + i (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 i + i \cdot 1 + i i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 + 1 i + i \cdot 1 + i i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{1 + i + i \cdot 1 + i i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{1 + i + i + i i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $i i$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + i + i + i^{1} i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + i + i + i^{1} i^{1}}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + i + i + i^{1 + 1}}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + i + i + i^{2}}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1 + i + i - 1}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + i + i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $0$ et $i$ .

$\frac{i + i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.4

Additionnez $i$ et $i$ .

$\frac{2 i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(1 - i) (1 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 i}{1 (1 + i) - i (1 + i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - i i}$

Étape 2.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.7

Soustrayez $i$ de $1 i$ .

$\frac{2 i}{1 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 i}{1 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2 i}{1 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 i}{2}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 i}{2}$

Étape 3.2

Divisez $i$ par $1$ .

$i$