Ensembles finis Exemples

$| x^{2} + 2 x - 15 | = | x - 3 |$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $| x - 3 | = | x^{2} + 2 x - 15 |$ .

$| x - 3 | = | x^{2} + 2 x - 15 |$

Étape 2

Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.

$x - 3 = x^{2} + 2 x - 15$

$x - 3 = - (x^{2} + 2 x - 15)$

$- (x - 3) = x^{2} + 2 x - 15$

$- (x - 3) = - (x^{2} + 2 x - 15)$

Étape 3

Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.

$x - 3 = x^{2} + 2 x - 15$

$x - 3 = - (x^{2} + 2 x - 15)$

Étape 4

Résolvez $x - 3 = x^{2} + 2 x - 15$ pour $x$ .

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Étape 4.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} + 2 x - 15 = x - 3$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x - 15 - x = - 3$

Étape 4.2.2

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$x^{2} + x - 15 = - 3$

Étape 4.3

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + x - 15 + 3 = 0$

Étape 4.4

Additionnez $- 15$ et $3$ .

$x^{2} + x - 12 = 0$

Étape 4.5

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 4.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Étape 4.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 4.7

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.7.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4.8

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.8.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 4.8.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 4.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 3, - 4$

Étape 5

Résolvez $x - 3 = - (x^{2} + 2 x - 15)$ pour $x$ .

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Étape 5.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- (x^{2} + 2 x - 15) = x - 3$

Étape 5.2

Simplifiez $- (x^{2} + 2 x - 15)$ .

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Étape 5.2.1

Réécrivez.

$0 + 0 - (x^{2} + 2 x - 15) = x - 3$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$- (x^{2} + 2 x - 15) = x - 3$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} - (2 x) - - 15 = x - 3$

Étape 5.2.4

Simplifiez

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - - 15 = x - 3$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 15$ .

$- x^{2} - 2 x + 15 = x - 3$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} - 2 x + 15 - x = - 3$

Étape 5.3.2

Soustrayez $x$ de $- 2 x$ .

$- x^{2} - 3 x + 15 = - 3$

Étape 5.4

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$- x^{2} - 3 x + 15 + 3 = 0$

Étape 5.5

Additionnez $15$ et $3$ .

$- x^{2} - 3 x + 18 = 0$

Étape 5.6

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} - 3 x + 18$ .

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Étape 5.6.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 3 x + 18 = 0$

Étape 5.6.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$- (x^{2}) - (3 x) + 18 = 0$

Étape 5.6.1.3

Réécrivez $18$ comme $- 1 (- 18)$ .

$- (x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot - 18 = 0$

Étape 5.6.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (3 x)$ .

$- (x^{2} + 3 x) - 1 \cdot - 18 = 0$

Étape 5.6.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 18)$ .

$- (x^{2} + 3 x - 18) = 0$

Étape 5.6.2

Factorisez.

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Étape 5.6.2.1

Factorisez $x^{2} + 3 x - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.6.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $3$ .

$- 3, 6$

Étape 5.6.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 3) (x + 6)) = 0$

Étape 5.6.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 3) (x + 6) = 0$

Étape 5.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 5.8

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.8.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.8.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5.9

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.9.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 5.9.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 5.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 3) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = 3, - 6$

Étape 6

Indiquez toutes les solutions.

$x = 3, - 4, 3, - 6$