Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & 4 \\ 2 & - \frac{1}{2} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - 4 \\ - 2 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & 4 \\ 2 & - \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - 4 \\ - 2 & \frac{1}{2} \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}) + 4 \cdot - 2 & \frac{1}{3} \cdot - 4 + 4 (\frac{1}{2}) \\ 2 (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot - 2 & 2 \cdot - 4 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} - \frac{73}{9} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & - \frac{33}{4} \end{array}]$

Étape 2

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 3

Find the determinant.

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- \frac{73}{9} (- \frac{33}{4}) - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{73}{9}$ dans le numérateur.

$\frac{- 73}{9} (- \frac{33}{4}) - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 3.2.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{33}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{- 73}{9} \cdot \frac{- 33}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 3.2.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{- 73}{3 (3)} \cdot \frac{- 33}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 3.2.1.1.4

Factorisez $3$ à partir de $- 33$ .

$\frac{- 73}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot - 11}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 3.2.1.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 73}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot - 11}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 3.2.1.1.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 73}{3} \cdot \frac{- 11}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $\frac{- 73}{3}$ par $\frac{- 11}{4}$ .

$\frac{- 73 \cdot - 11}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 73$ par $- 11$ .

$\frac{803}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{803}{12} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{803}{12} - \frac{2}{3 \cdot 3}$

Étape 3.2.1.5.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{803}{12} - \frac{2}{9}$

Étape 3.2.2

Pour écrire $\frac{803}{12}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{803}{12} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{9}$

Étape 3.2.3

Pour écrire $- \frac{2}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{803}{12} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{9} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $\frac{803}{12}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{803 \cdot 3}{12 \cdot 3} - \frac{2}{9} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $12$ par $3$ .

$\frac{803 \cdot 3}{36} - \frac{2}{9} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.2.4.3

Multipliez $\frac{2}{9}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{803 \cdot 3}{36} - \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4}$

Étape 3.2.4.4

Multipliez $9$ par $4$ .

$\frac{803 \cdot 3}{36} - \frac{2 \cdot 4}{36}$

Étape 3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{803 \cdot 3 - 2 \cdot 4}{36}$

Étape 3.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.6.1

Multipliez $803$ par $3$ .

$\frac{2409 - 2 \cdot 4}{36}$

Étape 3.2.6.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{2409 - 8}{36}$

Étape 3.2.6.3

Soustrayez $8$ de $2409$ .

$\frac{2401}{36}$

Étape 4

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 5

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{2401}{36}} [\begin{array}{c} - \frac{33}{4} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{73}{9} \end{array}]$

Étape 6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 (\frac{36}{2401}) [\begin{array}{c} - \frac{33}{4} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{73}{9} \end{array}]$

Étape 7

Multipliez $\frac{36}{2401}$ par $1$ .

$\frac{36}{2401} [\begin{array}{c} - \frac{33}{4} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{73}{9} \end{array}]$

Étape 8

Multipliez $\frac{36}{2401}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{36}{2401} (- \frac{33}{4}) & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{33}{4}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{36}{2401} \cdot \frac{- 33}{4} & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.1.2

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 (9)}{2401} \cdot \frac{- 33}{4} & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 9}{2401} \cdot \frac{- 33}{4} & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.1.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{2401} \cdot - 33 & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.2

Associez $\frac{9}{2401}$ et $- 33$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9 \cdot - 33}{2401} & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.3

Multipliez $9$ par $- 33$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 297}{2401} & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{36}{2401} \cdot \frac{- 2}{3} \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.5.2

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{3 (12)}{2401} \cdot \frac{- 2}{3} \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.5.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{3 \cdot 12}{2401} \cdot \frac{- 2}{3} \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.5.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{12}{2401} \cdot - 2 \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.6

Associez $\frac{12}{2401}$ et $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{12 \cdot - 2}{2401} \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.7

Multipliez $12$ par $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{- 24}{2401} \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.9.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{36}{2401} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.9.2

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{3 (12)}{2401} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.9.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{3 \cdot 12}{2401} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.9.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{12}{2401} \cdot - 1 & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.10

Associez $\frac{12}{2401}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{12 \cdot - 1}{2401} & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.11

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{- 12}{2401} & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Étape 9.13

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 9.13.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{73}{9}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{36}{2401} \cdot \frac{- 73}{9} \end{array}]$

Étape 9.13.2

Factorisez $9$ à partir de $36$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{9 (4)}{2401} \cdot \frac{- 73}{9} \end{array}]$

Étape 9.13.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{9 \cdot 4}{2401} \cdot \frac{- 73}{9} \end{array}]$

Étape 9.13.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{4}{2401} \cdot - 73 \end{array}]$

Étape 9.14

Associez $\frac{4}{2401}$ et $- 73$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{4 \cdot - 73}{2401} \end{array}]$

Étape 9.15

Multipliez $4$ par $- 73$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{- 292}{2401} \end{array}]$

Étape 9.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & - \frac{292}{2401} \end{array}]$