Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x - y & x + y \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] [\begin{array}{c} x - y & x + y \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 1$ and the second matrix is $1 \times 2$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} x (x - y) & x (x + y) \\ y (x - y) & y (x + y) \end{array}]$

Étape 1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} x^{2} - x y & x^{2} + x y \\ y x - y^{2} & y x + y^{2} \end{array}]$

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(x^{2} - x y) (y x + y^{2}) - (y x - y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Développez $(x^{2} - x y) (y x + y^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (y x + y^{2}) - x y (y x + y^{2}) - (y x - y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (y x) + x^{2} y^{2} - x y (y x + y^{2}) - (y x - y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (y x) + x^{2} y^{2} - x y (y x) - x y \cdot y^{2} - (y x - y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.2.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x^{2} y + x^{2} y^{2} - x y (y x) - x y \cdot y^{2} - (y x - y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{2} y + x^{2} y^{2} - x y (y x) - x y \cdot y^{2} - (y x - y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 2} y + x^{2} y^{2} - x y (y x) - x y \cdot y^{2} - (y x - y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.2.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y (y x) - x y \cdot y^{2} - (y x - y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$x^{3} y + x^{2} y^{2} - (x \cdot x) y \cdot y - x y \cdot y^{2} - (y x - y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y \cdot y - x y \cdot y^{2} - (y x - y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.2.1.3

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.2.1.3.1

Déplacez $y$ .

$x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} (y \cdot y) - x y \cdot y^{2} - (y x - y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.2.1.3.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y^{2} - x y \cdot y^{2} - (y x - y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.2.1.4

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.2.1.4.1

Déplacez $y^{2}$ .

$x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y^{2} - x (y^{2} y) - (y x - y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.2.1.4.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 2.2.1.2.1.4.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y^{2} - x (y^{2} y^{1}) - (y x - y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.2.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y^{2} - x y^{2 + 1} - (y x - y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.2.1.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y^{2} - x y^{3} - (y x - y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.2.2

Soustrayez $x^{2} y^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$x^{3} y + 0 - x y^{3} - (y x - y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.2.3

Additionnez $x^{3} y$ et $0$ .

$x^{3} y - x y^{3} - (y x - y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} y - x y^{3} + (- (y x) - - y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $- - y^{2}$ .

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Étape 2.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{3} y - x y^{3} + (- y x + 1 y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.4.2

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$x^{3} y - x y^{3} + (- y x + y^{2}) (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.5

Développez $(- y x + y^{2}) (x^{2} + x y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} y - x y^{3} - y x (x^{2} + x y) + y^{2} (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} y - x y^{3} - y x \cdot x^{2} - y x (x y) + y^{2} (x^{2} + x y)$

Étape 2.2.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} y - x y^{3} - y x \cdot x^{2} - y x (x y) + y^{2} x^{2} + y^{2} (x y)$

Étape 2.2.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.6.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{3} y - x y^{3} - y (x^{2} x) - y x (x y) + y^{2} x^{2} + y^{2} (x y)$

Étape 2.2.1.6.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.2.1.6.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} y - x y^{3} - y (x^{2} x^{1}) - y x (x y) + y^{2} x^{2} + y^{2} (x y)$

Étape 2.2.1.6.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3} y - x y^{3} - y x^{2 + 1} - y x (x y) + y^{2} x^{2} + y^{2} (x y)$

Étape 2.2.1.6.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{3} y - x y^{3} - y x^{3} - y x (x y) + y^{2} x^{2} + y^{2} (x y)$

Étape 2.2.1.6.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.6.1.2.1

Déplacez $y$ .

$x^{3} y - x y^{3} - y x^{3} - (y \cdot y) x \cdot x + y^{2} x^{2} + y^{2} (x y)$

Étape 2.2.1.6.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x^{3} y - x y^{3} - y x^{3} - y^{2} x \cdot x + y^{2} x^{2} + y^{2} (x y)$

Étape 2.2.1.6.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.6.1.3.1

Déplacez $x$ .

$x^{3} y - x y^{3} - y x^{3} - y^{2} (x \cdot x) + y^{2} x^{2} + y^{2} (x y)$

Étape 2.2.1.6.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{3} y - x y^{3} - y x^{3} - y^{2} x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} (x y)$

Étape 2.2.1.6.1.4

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.6.1.4.1

Déplacez $y$ .

$x^{3} y - x y^{3} - y x^{3} - y^{2} x^{2} + y^{2} x^{2} + y \cdot y^{2} x$

Étape 2.2.1.6.1.4.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 2.2.1.6.1.4.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x^{3} y - x y^{3} - y x^{3} - y^{2} x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{1} y^{2} x$

Étape 2.2.1.6.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3} y - x y^{3} - y x^{3} - y^{2} x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{1 + 2} x$

Étape 2.2.1.6.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{3} y - x y^{3} - y x^{3} - y^{2} x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{3} x$

Étape 2.2.1.6.2

Additionnez $- y^{2} x^{2}$ et $y^{2} x^{2}$ .

$x^{3} y - x y^{3} - y x^{3} + 0 + y^{3} x$

Étape 2.2.1.6.3

Additionnez $- y x^{3}$ et $0$ .

$x^{3} y - x y^{3} - y x^{3} + y^{3} x$

Étape 2.2.2

Associez les termes opposés dans $x^{3} y - x y^{3} - y x^{3} + y^{3} x$ .

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Étape 2.2.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x^{3} y$ et $- y x^{3}$ .

$x^{3} y - x y^{3} - x^{3} y + y^{3} x$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $x^{3} y$ de $x^{3} y$ .

$- x y^{3} + 0 + y^{3} x$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $- x y^{3}$ et $0$ .

$- x y^{3} + y^{3} x$

Étape 2.2.2.4

Réorganisez les facteurs dans les termes $- x y^{3}$ et $y^{3} x$ .

$- y^{3} x + y^{3} x$

Étape 2.2.2.5

Additionnez $- y^{3} x$ et $y^{3} x$ .

$0$

Étape 3

There is no inverse because the determinant is $0$ .