Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} - 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} - 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot - 2 + 1 \cdot 1 & - 2 \cdot 4 + 1 \cdot 3 \\ 3 \cdot - 2 + 9 \cdot 1 & 3 \cdot 4 + 9 \cdot 3 \end{array}]$

Étape 1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 \\ 3 & 39 \end{array}]$

Étape 2

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 3

Find the determinant.

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 39 - 3 \cdot - 5$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $5$ par $39$ .

$195 - 3 \cdot - 5$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 5$ .

$195 + 15$

Étape 3.2.2

Additionnez $195$ et $15$ .

$210$

Étape 4

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 5

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{210} [\begin{array}{c} 39 & 5 \\ - 3 & 5 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $\frac{1}{210}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{210} \cdot 39 & \frac{1}{210} \cdot 5 \\ \frac{1}{210} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $3$ à partir de $210$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 (70)} \cdot 39 & \frac{1}{210} \cdot 5 \\ \frac{1}{210} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Factorisez $3$ à partir de $39$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 \cdot 70} \cdot (3 \cdot 13) & \frac{1}{210} \cdot 5 \\ \frac{1}{210} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.1.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 \cdot 70} \cdot (3 \cdot 13) & \frac{1}{210} \cdot 5 \\ \frac{1}{210} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.1.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{70} \cdot 13 & \frac{1}{210} \cdot 5 \\ \frac{1}{210} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{70}$ et $13$ .

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{210} \cdot 5 \\ \frac{1}{210} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $5$ à partir de $210$ .

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{5 (42)} \cdot 5 \\ \frac{1}{210} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.3.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{5 \cdot 42} \cdot 5 \\ \frac{1}{210} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.3.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ \frac{1}{210} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez $3$ à partir de $210$ .

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ \frac{1}{3 (70)} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.4.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ \frac{1}{3 \cdot 70} \cdot (3 \cdot - 1) & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.4.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ \frac{1}{3 \cdot 70} \cdot (3 \cdot - 1) & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.4.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ \frac{1}{70} \cdot - 1 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.5

Associez $\frac{1}{70}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ \frac{- 1}{70} & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ - \frac{1}{70} & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.7

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.7.1

Factorisez $5$ à partir de $210$ .

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ - \frac{1}{70} & \frac{1}{5 (42)} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.7.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ - \frac{1}{70} & \frac{1}{5 \cdot 42} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.7.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ - \frac{1}{70} & \frac{1}{42} \end{array}]$