Ensembles finis Exemples

$(- 1, 4)$ , $(3, 9)$ , $(0, 3)$

Étape 1

Utilisez la forme normalisée de l’équation quadratique $y = a x^{2} + b x + c$ comme point de départ pour déterminer l’équation avec les trois points.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 2

Créez un système d’équations en remplaçant les valeurs $x$ et $y$ de chaque point dans la formule standard d’une équation quadratique pour créer le système à trois équations.

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c, 9 = a {(3)}^{2} + b (3) + c, 3 = a {(0)}^{2} + b (0) + c$

Étape 3

Résolvez le système d’équations pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

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Étape 3.1

Résolvez $c$ dans $3 = a \cdot 0^{2} + c$ .

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Étape 3.1.1

Réécrivez l’équation comme $a \cdot 0^{2} + c = 3$ .

$a \cdot 0^{2} + c = 3$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

Étape 3.1.2

Simplifiez $a \cdot 0^{2} + c$ .

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$a \cdot 0 + c = 3$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $a$ par $0$ .

$0 + c = 3$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

$0 + c = 3$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $0$ et $c$ .

$c = 3$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

$c = 3$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

$c = 3$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $c$ par $3$ dans chaque équation.

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Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $c$ dans $4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$ par $3$ .

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 3$

$c = 3$

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

Étape 3.2.2

Simplifiez $4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 3$

$c = 3$

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 3$

$c = 3$

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$4 = a \cdot 1 + b (- 1) + 3$

$c = 3$

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

Étape 3.2.2.2.1.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$4 = a + b (- 1) + 3$

$c = 3$

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

Étape 3.2.2.2.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $b$ .

$4 = a - 1 b + 3$

$c = 3$

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

Étape 3.2.2.2.1.4

Réécrivez $- 1 b$ comme $- b$ .

$4 = a - b + 3$

$c = 3$

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

$4 = a - b + 3$

$c = 3$

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

$4 = a - b + 3$

$c = 3$

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

$4 = a - b + 3$

$c = 3$

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $c$ dans $9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + c$ par $3$ .

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + 3$

$4 = a - b + 3$

$c = 3$

Étape 3.2.4

Simplifiez $9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1.1

Supprimez les parenthèses.

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + 3$

$4 = a - b + 3$

$c = 3$

$9 = a \cdot 3^{2} + b (3) + 3$

$4 = a - b + 3$

$c = 3$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 = a \cdot 9 + b (3) + 3$

$4 = a - b + 3$

$c = 3$

Étape 3.2.4.2.1.2

Déplacez $9$ à gauche de $a$ .

$9 = 9 \cdot a + b (3) + 3$

$4 = a - b + 3$

$c = 3$

Étape 3.2.4.2.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $b$ .

$9 = 9 a + 3 b + 3$

$4 = a - b + 3$

$c = 3$

$9 = 9 a + 3 b + 3$

$4 = a - b + 3$

$c = 3$

$9 = 9 a + 3 b + 3$

$4 = a - b + 3$

$c = 3$

$9 = 9 a + 3 b + 3$

$4 = a - b + 3$

$c = 3$

$9 = 9 a + 3 b + 3$

$4 = a - b + 3$

$c = 3$

Étape 3.3

Résolvez $a$ dans $4 = a - b + 3$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $a - b + 3 = 4$ .

$a - b + 3 = 4$

$9 = 9 a + 3 b + 3$

$c = 3$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $b$ aux deux côtés de l’équation.

$a + 3 = 4 + b$

$9 = 9 a + 3 b + 3$

$c = 3$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$a = 4 + b - 3$

$9 = 9 a + 3 b + 3$

$c = 3$

Étape 3.3.2.3

Soustrayez $3$ de $4$ .

$a = b + 1$

$9 = 9 a + 3 b + 3$

$c = 3$

$a = b + 1$

$9 = 9 a + 3 b + 3$

$c = 3$

$a = b + 1$

$9 = 9 a + 3 b + 3$

$c = 3$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $a$ par $b + 1$ dans chaque équation.

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Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $a$ dans $9 = 9 a + 3 b + 3$ par $b + 1$ .

$9 = 9 (b + 1) + 3 b + 3$

$a = b + 1$

$c = 3$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez $9 (b + 1) + 3 b + 3$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 = 9 b + 9 \cdot 1 + 3 b + 3$

$a = b + 1$

$c = 3$

Étape 3.4.2.1.1.2

Multipliez $9$ par $1$ .

$9 = 9 b + 9 + 3 b + 3$

$a = b + 1$

$c = 3$

$9 = 9 b + 9 + 3 b + 3$

$a = b + 1$

$c = 3$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.4.2.1.2.1

Additionnez $9 b$ et $3 b$ .

$9 = 12 b + 9 + 3$

$a = b + 1$

$c = 3$

Étape 3.4.2.1.2.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$9 = 12 b + 12$

$a = b + 1$

$c = 3$

$9 = 12 b + 12$

$a = b + 1$

$c = 3$

$9 = 12 b + 12$

$a = b + 1$

$c = 3$

$9 = 12 b + 12$

$a = b + 1$

$c = 3$

$9 = 12 b + 12$

$a = b + 1$

$c = 3$

Étape 3.5

Résolvez $b$ dans $9 = 12 b + 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $12 b + 12 = 9$ .

$12 b + 12 = 9$

$a = b + 1$

$c = 3$

Étape 3.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$12 b = 9 - 12$

$a = b + 1$

$c = 3$

Étape 3.5.2.2

Soustrayez $12$ de $9$ .

$12 b = - 3$

$a = b + 1$

$c = 3$

$12 b = - 3$

$a = b + 1$

$c = 3$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $12 b = - 3$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $12 b = - 3$ par $12$ .

$\frac{12 b}{12} = \frac{- 3}{12}$

$a = b + 1$

$c = 3$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 b}{12} = \frac{- 3}{12}$

$a = b + 1$

$c = 3$

Étape 3.5.3.2.1.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{- 3}{12}$

$a = b + 1$

$c = 3$

$b = \frac{- 3}{12}$

$a = b + 1$

$c = 3$

$b = \frac{- 3}{12}$

$a = b + 1$

$c = 3$

Étape 3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $12$ .

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Étape 3.5.3.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$b = \frac{3 (- 1)}{12}$

$a = b + 1$

$c = 3$

Étape 3.5.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.3.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$b = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 4}$

$a = b + 1$

$c = 3$

Étape 3.5.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$b = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 4}$

$a = b + 1$

$c = 3$

Étape 3.5.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$b = \frac{- 1}{4}$

$a = b + 1$

$c = 3$

$b = \frac{- 1}{4}$

$a = b + 1$

$c = 3$

$b = \frac{- 1}{4}$

$a = b + 1$

$c = 3$

Étape 3.5.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$b = - \frac{1}{4}$

$a = b + 1$

$c = 3$

$b = - \frac{1}{4}$

$a = b + 1$

$c = 3$

$b = - \frac{1}{4}$

$a = b + 1$

$c = 3$

$b = - \frac{1}{4}$

$a = b + 1$

$c = 3$

Étape 3.6

Remplacez toutes les occurrences de $b$ par $- \frac{1}{4}$ dans chaque équation.

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Étape 3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $b$ dans $a = b + 1$ par $- \frac{1}{4}$ .

$a = (- \frac{1}{4}) + 1$

$b = - \frac{1}{4}$

$c = 3$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.1

Simplifiez $(- \frac{1}{4}) + 1$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$a = - \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

$b = - \frac{1}{4}$

$c = 3$

Étape 3.6.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a = \frac{- 1 + 4}{4}$

$b = - \frac{1}{4}$

$c = 3$

Étape 3.6.2.1.3

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$a = \frac{3}{4}$

$b = - \frac{1}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{4}$

$b = - \frac{1}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{4}$

$b = - \frac{1}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{4}$

$b = - \frac{1}{4}$

$c = 3$

Étape 3.7

Indiquez toutes les solutions.

$a = \frac{3}{4}, b = - \frac{1}{4}, c = 3$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles de $a$ , $b$ et $c$ dans la formule pour une équation quadratique afin de déterminer l’équation résultante.

$y = \frac{3 x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + 3$

Étape 5