Ensembles finis Exemples

${(2 k + 1)}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(2 k)}^{3 - k} \cdot {(1)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(2 k)}^{3 - 0} \cdot {(1)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(2 k)}^{3 - 1} \cdot {(1)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(2 k)}^{3 - 2} \cdot {(1)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(2 k)}^{3 - 3} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(2 k)}^{3} \cdot {(1)}^{0} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez $1$ par ${(1)}^{0}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1

Déplacez ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.1.2

Multipliez ${(1)}^{0}$ par $1$ .

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Étape 4.1.2.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1^{0 + 1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.1.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$1^{1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.2

Simplifiez $1^{1} \cdot {(2 k)}^{3}$ .

${(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $2 k$ .

$2^{3} k^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 k^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.5

Appliquez la règle de produit à $2 k$ .

$8 k^{3} + 3 \cdot (2^{2} k^{2}) \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 k^{3} + 3 \cdot (4 k^{2}) \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.7

Multipliez $4$ par $3$ .

$8 k^{3} + 12 k^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.8

Évaluez l’exposant.

$8 k^{3} + 12 k^{2} \cdot 1 + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.9

Multipliez $12$ par $1$ .

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.10

Simplifiez

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 3 \cdot (2 k) \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.11

Multipliez $2$ par $3$ .

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k \cdot 1 + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.13

Multipliez $6$ par $1$ .

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Étape 4.14

Multipliez $1$ par ${(1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.14.1

Déplacez ${(1)}^{3}$ .

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + {(1)}^{3} \cdot 1 \cdot {(2 k)}^{0}$

Étape 4.14.2

Multipliez ${(1)}^{3}$ par $1$ .

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Étape 4.14.2.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + {(1)}^{3} \cdot 1^{1} \cdot {(2 k)}^{0}$

Étape 4.14.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{3 + 1} \cdot {(2 k)}^{0}$

Étape 4.14.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{4} \cdot {(2 k)}^{0}$

Étape 4.15

Simplifiez $1^{4} \cdot {(2 k)}^{0}$ .

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{4}$

Étape 4.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1$