Ensembles finis Exemples

${(2 + 3 i)}^{2}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(2)}^{2 - k} \cdot {(3 i)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(2)}^{2 - 0} \cdot {(3 i)}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(2)}^{2 - 1} \cdot {(3 i)}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(2)}^{2 - 2} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(2)}^{2} \cdot {(3 i)}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez le résultat polynomial.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez ${(2)}^{2}$ par $1$ .

${(2)}^{2} \cdot {(3 i)}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 \cdot {(3 i)}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.3

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$4 \cdot (3^{0} i^{0}) + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 \cdot (1 i^{0}) + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.5

Multipliez $i^{0}$ par $1$ .

$4 \cdot i^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 \cdot 1 + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.8

Évaluez l’exposant.

$4 + 2 \cdot 2 \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.9

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + 4 \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.10

Simplifiez

$4 + 4 \cdot (3 i) + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.11

Multipliez $3$ par $4$ .

$4 + 12 i + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.12

Multipliez ${(2)}^{0}$ par $1$ .

$4 + 12 i + {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.13

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 + 12 i + 1 \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.14

Multipliez ${(3 i)}^{2}$ par $1$ .

$4 + 12 i + {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.15

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$4 + 12 i + 3^{2} i^{2}$

Étape 4.1.16

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$4 + 12 i + 9 i^{2}$

Étape 4.1.17

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$4 + 12 i + 9 \cdot - 1$

Étape 4.1.18

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$4 + 12 i - 9$

Étape 4.2

Soustrayez $9$ de $4$ .

$- 5 + 12 i$