Ensembles finis Exemples

{(2 + 3 i)}^{2}

${(2 + 3 i)}^{2}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que

{(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})

${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(2)}^{2 - k} \cdot {(3 i)}^{k}

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(2)}^{2 - k} \cdot {(3 i)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(2)}^{2 - 0} \cdot {(3 i)}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(2)}^{2 - 1} \cdot {(3 i)}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(2)}^{2 - 2} \cdot {(3 i)}^{2}

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(2)}^{2 - 0} \cdot {(3 i)}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(2)}^{2 - 1} \cdot {(3 i)}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(2)}^{2 - 2} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

1 \cdot {(2)}^{2} \cdot {(3 i)}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}

$1 \cdot {(2)}^{2} \cdot {(3 i)}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez le résultat polynomial.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez

{(2)}^{2}

${(2)}^{2}$ par

1

$1$ .

{(2)}^{2} \cdot {(3 i)}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}

${(2)}^{2} \cdot {(3 i)}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.2

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

4 \cdot {(3 i)}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}

$4 \cdot {(3 i)}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.3

Appliquez la règle de produit à

3 i

$3 i$ .

4 \cdot (3^{0} i^{0}) + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}

$4 \cdot (3^{0} i^{0}) + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance

0

$0$ est

1

$1$ .

4 \cdot (1 i^{0}) + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}

$4 \cdot (1 i^{0}) + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.5

Multipliez

i^{0}

$i^{0}$ par

1

$1$ .

4 \cdot i^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}

$4 \cdot i^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.6

Tout ce qui est élevé à la puissance

0

$0$ est

1

$1$ .

4 \cdot 1 + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}

$4 \cdot 1 + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.7

Multipliez

4

$4$ par

1

$1$ .

4 + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}

$4 + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.8

Évaluez l’exposant.

4 + 2 \cdot 2 \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}

$4 + 2 \cdot 2 \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.9

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

4 + 4 \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}

$4 + 4 \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.10

Simplifiez

4 + 4 \cdot (3 i) + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}

$4 + 4 \cdot (3 i) + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.11

Multipliez

3

$3$ par

4

$4$ .

4 + 12 i + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}

$4 + 12 i + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.12

Multipliez

{(2)}^{0}

${(2)}^{0}$ par

1

$1$ .

4 + 12 i + {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}

$4 + 12 i + {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.13

Tout ce qui est élevé à la puissance

0

$0$ est

1

$1$ .

4 + 12 i + 1 \cdot {(3 i)}^{2}

$4 + 12 i + 1 \cdot {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.14

Multipliez

{(3 i)}^{2}

${(3 i)}^{2}$ par

1

$1$ .

4 + 12 i + {(3 i)}^{2}

$4 + 12 i + {(3 i)}^{2}$

Étape 4.1.15

Appliquez la règle de produit à

3 i

$3 i$ .

4 + 12 i + 3^{2} i^{2}

$4 + 12 i + 3^{2} i^{2}$

Étape 4.1.16

Élevez

3

$3$ à la puissance

2

$2$ .

4 + 12 i + 9 i^{2}

$4 + 12 i + 9 i^{2}$

Étape 4.1.17

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

4 + 12 i + 9 \cdot - 1

$4 + 12 i + 9 \cdot - 1$

Étape 4.1.18

Multipliez

9

$9$ par

- 1

$- 1$ .

4 + 12 i - 9

$4 + 12 i - 9$

4 + 12 i - 9

$4 + 12 i - 9$

Étape 4.2

Soustrayez

9

$9$ de

4

$4$ .

- 5 + 12 i

$- 5 + 12 i$

- 5 + 12 i

$- 5 + 12 i$