Ensembles finis Exemples

$12 x - 5 y = 9$ , $3 x - 8 y = - 18$

Étape 1

Réécrivez en forme affine.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 1.2

Soustrayez $12 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 y = 9 - 12 x$

Étape 1.3

Divisez chaque terme dans $- 5 y = 9 - 12 x$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 1.3.1

Divisez chaque terme dans $- 5 y = 9 - 12 x$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{9}{- 5} + \frac{- 12 x}{- 5}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{9}{- 5} + \frac{- 12 x}{- 5}$

Étape 1.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{9}{- 5} + \frac{- 12 x}{- 5}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{9}{5} + \frac{- 12 x}{- 5}$

Étape 1.3.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - \frac{9}{5} + \frac{12 x}{5}$

Étape 1.4

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 1.4.1

Remettez dans l’ordre $- \frac{9}{5}$ et $\frac{12 x}{5}$ .

$y = \frac{12 x}{5} - \frac{9}{5}$

Étape 1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{12}{5} x - \frac{9}{5}$

Étape 2

En utilisant la forme affine, la pente est $\frac{12}{5}$ .

$m_{1} = \frac{12}{5}$

Étape 3

Réécrivez en forme affine.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 3.2

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 8 y = - 18 - 3 x$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- 8 y = - 18 - 3 x$ par $- 8$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 8 y = - 18 - 3 x$ par $- 8$ .

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- 18}{- 8} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- 18}{- 8} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 18}{- 8} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $- 8$ .

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Étape 3.3.3.1.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 18$ .

$y = \frac{- 2 (9)}{- 8} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Étape 3.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 8$ .

$y = \frac{- 2 \cdot 9}{- 2 \cdot 4} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Étape 3.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 2 \cdot 9}{- 2 \cdot 4} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Étape 3.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{9}{4} + \frac{- 3 x}{- 8}$

Étape 3.3.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{9}{4} + \frac{3 x}{8}$

Étape 3.4

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Remettez dans l’ordre $\frac{9}{4}$ et $\frac{3 x}{8}$ .

$y = \frac{3 x}{8} + \frac{9}{4}$

Étape 3.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{3}{8} x + \frac{9}{4}$

Étape 4

En utilisant la forme affine, la pente est $\frac{3}{8}$ .

$m_{2} = \frac{3}{8}$

Étape 5

Définissez le système d’équations pour déterminer tout point d’intersection.

$12 x - 5 y = 9, 3 x - 8 y = - 18$

Étape 6

Résolvez le système d’équations pour déterminer le point d’intersection.

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Étape 6.1

Résolvez $x$ dans $12 x - 5 y = 9$ .

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Étape 6.1.1

Ajoutez $5 y$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x = 9 + 5 y$

$3 x - 8 y = - 18$

Étape 6.1.2

Divisez chaque terme dans $12 x = 9 + 5 y$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 6.1.2.1

Divisez chaque terme dans $12 x = 9 + 5 y$ par $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Étape 6.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x}{12} = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Étape 6.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Étape 6.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.3.1

Annulez le facteur commun à $9$ et $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$x = \frac{3 (3)}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Étape 6.1.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Étape 6.1.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Étape 6.1.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Étape 6.2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $3 x - 8 y = - 18$ par $\frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$ .

$3 (\frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Simplifiez $3 (\frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}) - 8 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (\frac{3}{4}) + 3 (\frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Multipliez $3 (\frac{3}{4})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.2.1

Associez $3$ et $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{4} + 3 (\frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.2.2.1.1.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9}{4} + 3 (\frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9}{4} + 3 (\frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{9}{4} + 3 (\frac{5 y}{3 (4)}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.2.2.1.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{4} + 3 (\frac{5 y}{3 \cdot 4}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.2.2.1.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.2.2.1.2

Pour écrire $- 8 y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} - 8 y \cdot \frac{4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.2.2.1.3

Associez $- 8 y$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} + \frac{- 8 y \cdot 4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.2.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9}{4} + \frac{5 y - 8 y \cdot 4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.2.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 + 5 y - 8 y \cdot 4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.2.2.1.6

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$\frac{9 + 5 y - 32 y}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.2.2.1.7

Soustrayez $32 y$ de $5 y$ .

$\frac{9 - 27 y}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.2.2.1.8

Factorisez $9$ à partir de $9 - 27 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.8.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$\frac{9 (1) - 27 y}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.2.2.1.8.2

Factorisez $9$ à partir de $- 27 y$ .

$\frac{9 (1) + 9 (- 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.2.2.1.8.3

Factorisez $9$ à partir de $9 (1) + 9 (- 3 y)$ .

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.3

Résolvez $y$ dans $\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Multipliez les deux côtés par $4$ .

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} \cdot 4 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1

Simplifiez $\frac{9 (1 - 3 y)}{4} \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} \cdot 4 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.3.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$9 (1 - 3 y) = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$9 (1 - 3 y) = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 \cdot 1 + 9 (- 3 y) = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.3.2.1.1.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1.3.1

Multipliez $9$ par $1$ .

$9 + 9 (- 3 y) = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.3.2.1.1.3.2

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$9 - 27 y = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.3.2.1.1.3.3

Remettez dans l’ordre $9$ et $- 27 y$ .

$- 27 y + 9 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Multipliez $- 18$ par $4$ .

$- 27 y + 9 = - 72$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 72$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 72$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.3.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$- 27 y = - 72 - 9$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.3.3.1.2

Soustrayez $9$ de $- 72$ .

$- 27 y = - 81$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y = - 81$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- 27 y = - 81$ par $- 27$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 27 y = - 81$ par $- 27$ .

$\frac{- 27 y}{- 27} = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 27$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 27 y}{- 27} = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.3.3.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.3.1

Divisez $- 81$ par $- 27$ .

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Étape 6.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $3$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$ par $3$ .

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 (3)}{12}$

$y = 3$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Simplifiez $\frac{3}{4} + \frac{5 (3)}{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$x = \frac{3}{4} + \frac{15}{12}$

$y = 3$

Étape 6.4.2.1.2

Annulez le facteur commun à $15$ et $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$x = \frac{3}{4} + \frac{3 (5)}{12}$

$y = 3$

Étape 6.4.2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$x = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4}$

$y = 3$

Étape 6.4.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4}$

$y = 3$

Étape 6.4.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{4} + \frac{5}{4}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5}{4}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5}{4}$

$y = 3$

Étape 6.4.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 + 5}{4}$

$y = 3$

Étape 6.4.2.1.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.4.1

Additionnez $3$ et $5$ .

$x = \frac{8}{4}$

$y = 3$

Étape 6.4.2.1.4.2

Divisez $8$ par $4$ .

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

Étape 6.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(2, 3)$

Étape 7

Comme les pentes sont différentes, les droites auront exactement le même point d’intersection.

$m_{1} = \frac{12}{5}$

$m_{2} = \frac{3}{8}$

$(2, 3)$

Étape 8