Ensembles finis Exemples

$x - 3 y = 9$ , $3 x - y = 7$

Étape 1

Réécrivez en forme affine.

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Étape 1.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 1.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y = 9 - x$

Étape 1.3

Divisez chaque terme dans $- 3 y = 9 - x$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 1.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 y = 9 - x$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{9}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{9}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Étape 1.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{9}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Divisez $9$ par $- 3$ .

$y = - 3 + \frac{- x}{- 3}$

Étape 1.3.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - 3 + \frac{x}{3}$

Étape 1.4

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 1.4.1

Remettez dans l’ordre $- 3$ et $\frac{x}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - 3$

Étape 1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{3} x - 3$

Étape 2

En utilisant la forme affine, la pente est $\frac{1}{3}$ .

$m_{1} = \frac{1}{3}$

Étape 3

Réécrivez en forme affine.

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Étape 3.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 3.2

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$- y = 7 - 3 x$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- y = 7 - 3 x$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- y = 7 - 3 x$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{7}{- 1} + \frac{- 3 x}{- 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{7}{- 1} + \frac{- 3 x}{- 1}$

Étape 3.3.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{7}{- 1} + \frac{- 3 x}{- 1}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Divisez $7$ par $- 1$ .

$y = - 7 + \frac{- 3 x}{- 1}$

Étape 3.3.3.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 3 x}{- 1}$ .

$y = - 7 - 1 \cdot (- 3 x)$

Étape 3.3.3.1.3

Réécrivez $- 1 \cdot (- 3 x)$ comme $- (- 3 x)$ .

$y = - 7 - (- 3 x)$

Étape 3.3.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y = - 7 + 3 x$

Étape 3.4

Remettez dans l’ordre $- 7$ et $3 x$ .

$y = 3 x - 7$

Étape 4

En utilisant la forme affine, la pente est $3$ .

$m_{2} = 3$

Étape 5

Définissez le système d’équations pour déterminer tout point d’intersection.

$x - 3 y = 9, 3 x - y = 7$

Étape 6

Résolvez le système d’équations pour déterminer le point d’intersection.

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Étape 6.1

Ajoutez $3 y$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9 + 3 y$

$3 x - y = 7$

Étape 6.2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $9 + 3 y$ dans chaque équation.

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Étape 6.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $3 x - y = 7$ par $9 + 3 y$ .

$3 (9 + 3 y) - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $3 (9 + 3 y) - y$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 9 + 3 (3 y) - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Étape 6.2.2.1.1.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$27 + 3 (3 y) - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Étape 6.2.2.1.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$27 + 9 y - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

$27 + 9 y - y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Étape 6.2.2.1.2

Soustrayez $y$ de $9 y$ .

$27 + 8 y = 7$

$x = 9 + 3 y$

$27 + 8 y = 7$

$x = 9 + 3 y$

$27 + 8 y = 7$

$x = 9 + 3 y$

$27 + 8 y = 7$

$x = 9 + 3 y$

Étape 6.3

Résolvez $y$ dans $27 + 8 y = 7$ .

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Étape 6.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.1.1

Soustrayez $27$ des deux côtés de l’équation.

$8 y = 7 - 27$

$x = 9 + 3 y$

Étape 6.3.1.2

Soustrayez $27$ de $7$ .

$8 y = - 20$

$x = 9 + 3 y$

$8 y = - 20$

$x = 9 + 3 y$

Étape 6.3.2

Divisez chaque terme dans $8 y = - 20$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 6.3.2.1

Divisez chaque terme dans $8 y = - 20$ par $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

Étape 6.3.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

$y = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

$y = \frac{- 20}{8}$

$x = 9 + 3 y$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $8$ .

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Étape 6.3.2.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 20$ .

$y = \frac{4 (- 5)}{8}$

$x = 9 + 3 y$

Étape 6.3.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 2}$

$x = 9 + 3 y$

Étape 6.3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 2}$

$x = 9 + 3 y$

Étape 6.3.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = \frac{- 5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

Étape 6.3.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + 3 y$

Étape 6.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- \frac{5}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 6.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 9 + 3 y$ par $- \frac{5}{2}$ .

$x = 9 + 3 (- \frac{5}{2})$

$y = - \frac{5}{2}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez $9 + 3 (- \frac{5}{2})$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1.1

Multipliez $3 (- \frac{5}{2})$ .

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Étape 6.4.2.1.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x = 9 - 3 (\frac{5}{2})$

$y = - \frac{5}{2}$

Étape 6.4.2.1.1.1.2

Associez $- 3$ et $\frac{5}{2}$ .

$x = 9 + \frac{- 3 \cdot 5}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Étape 6.4.2.1.1.1.3

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$x = 9 + \frac{- 15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 + \frac{- 15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Étape 6.4.2.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = 9 - \frac{15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = 9 - \frac{15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Étape 6.4.2.1.2

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Étape 6.4.2.1.3

Associez $9$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Étape 6.4.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{9 \cdot 2 - 15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Étape 6.4.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.1.5.1

Multipliez $9$ par $2$ .

$x = \frac{18 - 15}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Étape 6.4.2.1.5.2

Soustrayez $15$ de $18$ .

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = - \frac{5}{2}$

Étape 6.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(\frac{3}{2}, - \frac{5}{2})$

Étape 7

Comme les pentes sont différentes, les droites auront exactement le même point d’intersection.

$m_{1} = \frac{1}{3}$

$m_{2} = 3$

$(\frac{3}{2}, - \frac{5}{2})$

Étape 8