Ensembles finis Exemples

$- 7 x + 3 y = 4$ , $4 x - 5 y = 24$

Étape 1

Réécrivez en forme affine.

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Étape 1.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 1.2

Ajoutez $7 x$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y = 4 + 7 x$

Étape 1.3

Divisez chaque terme dans $3 y = 4 + 7 x$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.3.1

Divisez chaque terme dans $3 y = 4 + 7 x$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{7 x}{3}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{7 x}{3}$

Étape 1.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{4}{3} + \frac{7 x}{3}$

Étape 1.4

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 1.4.1

Remettez dans l’ordre $\frac{4}{3}$ et $\frac{7 x}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{7}{3} x + \frac{4}{3}$

Étape 2

En utilisant la forme affine, la pente est $\frac{7}{3}$ .

$m_{1} = \frac{7}{3}$

Étape 3

Réécrivez en forme affine.

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Étape 3.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 3.2

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 y = 24 - 4 x$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- 5 y = 24 - 4 x$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 5 y = 24 - 4 x$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{24}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{24}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{24}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{24}{5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Étape 3.3.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - \frac{24}{5} + \frac{4 x}{5}$

Étape 3.4

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.4.1

Remettez dans l’ordre $- \frac{24}{5}$ et $\frac{4 x}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{24}{5}$

Étape 3.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{4}{5} x - \frac{24}{5}$

Étape 4

En utilisant la forme affine, la pente est $\frac{4}{5}$ .

$m_{2} = \frac{4}{5}$

Étape 5

Définissez le système d’équations pour déterminer tout point d’intersection.

$- 7 x + 3 y = 4, 4 x - 5 y = 24$

Étape 6

Résolvez le système d’équations pour déterminer le point d’intersection.

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Étape 6.1

Résolvez $x$ dans $- 7 x + 3 y = 4$ .

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Étape 6.1.1

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$- 7 x = 4 - 3 y$

$4 x - 5 y = 24$

Étape 6.1.2

Divisez chaque terme dans $- 7 x = 4 - 3 y$ par $- 7$ et simplifiez.

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Étape 6.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 7 x = 4 - 3 y$ par $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Étape 6.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 7$ .

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Étape 6.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Étape 6.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Étape 6.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4}{7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Étape 6.1.2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

Étape 6.2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$ dans chaque équation.

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Étape 6.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $4 x - 5 y = 24$ par $- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$ .

$4 (- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $4 (- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}) - 5 y$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (- \frac{4}{7}) + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Multipliez $4 (- \frac{4}{7})$ .

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Étape 6.2.2.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 (\frac{4}{7}) + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.2.2.1.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{4}{7}$ .

$\frac{- 4 \cdot 4}{7} + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.2.2.1.1.2.3

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\frac{- 16}{7} + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$\frac{- 16}{7} + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.2.2.1.1.3

Multipliez $4 \frac{3 y}{7}$ .

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Étape 6.2.2.1.1.3.1

Associez $4$ et $\frac{3 y}{7}$ .

$\frac{- 16}{7} + \frac{4 (3 y)}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.2.2.1.1.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{- 16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$\frac{- 16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.2.2.1.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.2.2.1.2

Pour écrire $- 5 y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y \cdot \frac{7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.2.2.1.3

Associez $- 5 y$ et $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} + \frac{- 5 y \cdot 7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.2.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y - 5 y \cdot 7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.2.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 16 + 12 y - 5 y \cdot 7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.2.2.1.6

Multipliez $7$ par $- 5$ .

$\frac{- 16 + 12 y - 35 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.2.2.1.7

Soustrayez $35 y$ de $12 y$ .

$\frac{- 16 - 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.2.2.1.8

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$\frac{- 1 \cdot 16 - 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.2.2.1.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 23 y$ .

$\frac{- 1 \cdot 16 - (23 y)}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.2.2.1.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (16) - (23 y)$ .

$\frac{- 1 (16 + 23 y)}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.2.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.3

Résolvez $y$ dans $- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 7$ .

$- 7 (- \frac{16 + 23 y}{7}) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1

Simplifiez $- 7 (- \frac{16 + 23 y}{7})$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{16 + 23 y}{7}$ dans le numérateur.

$- 7 \frac{- (16 + 23 y)}{7} = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.3.2.1.1.1.2

Factorisez $7$ à partir de $- 7$ .

$7 (- 1) (\frac{- (16 + 23 y)}{7}) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.3.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$7 \cdot (- 1 \frac{- (16 + 23 y)}{7}) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.3.2.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Multipliez.

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (16 + 23 y) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Multipliez $16 + 23 y$ par $1$ .

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.1

Multipliez $- 7$ par $24$ .

$16 + 23 y = - 168$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 168$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 168$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.3.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$23 y = - 168 - 16$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.3.3.2

Soustrayez $16$ de $- 168$ .

$23 y = - 184$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$23 y = - 184$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.3.4

Divisez chaque terme dans $23 y = - 184$ par $23$ et simplifiez.

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Étape 6.3.4.1

Divisez chaque terme dans $23 y = - 184$ par $23$ .

$\frac{23 y}{23} = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $23$ .

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Étape 6.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{23 y}{23} = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.3.1

Divisez $- 184$ par $23$ .

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Étape 6.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 8$ dans chaque équation.

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Étape 6.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$ par $- 8$ .

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 (- 8)}{7}$

$y = - 8$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Simplifiez $- \frac{4}{7} + \frac{3 (- 8)}{7}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 4 + 3 (- 8)}{7}$

$y = - 8$

Étape 6.4.2.1.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.2.1

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$x = \frac{- 4 - 24}{7}$

$y = - 8$

Étape 6.4.2.1.2.2

Soustrayez $24$ de $- 4$ .

$x = \frac{- 28}{7}$

$y = - 8$

Étape 6.4.2.1.2.3

Divisez $- 28$ par $7$ .

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

Étape 6.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(- 4, - 8)$

Étape 7

Comme les pentes sont différentes, les droites auront exactement le même point d’intersection.

$m_{1} = \frac{7}{3}$

$m_{2} = \frac{4}{5}$

$(- 4, - 8)$

Étape 8