Ensembles finis Exemples

$4 x + 5 y = 8$ , $5 x - 4 y = 2$

Étape 1

Réécrivez en forme affine.

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Étape 1.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 1.2

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$5 y = 8 - 4 x$

Étape 1.3

Divisez chaque terme dans $5 y = 8 - 4 x$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 1.3.1

Divisez chaque terme dans $5 y = 8 - 4 x$ par $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{8}{5} + \frac{- 4 x}{5}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y}{5} = \frac{8}{5} + \frac{- 4 x}{5}$

Étape 1.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{8}{5} + \frac{- 4 x}{5}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{8}{5} - \frac{4 x}{5}$

Étape 1.4

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 1.4.1

Remettez dans l’ordre $\frac{8}{5}$ et $- \frac{4 x}{5}$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5}$

Étape 1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{4}{5} x) + \frac{8}{5}$

Étape 1.4.3

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{8}{5}$

Étape 2

En utilisant la forme affine, la pente est $- \frac{4}{5}$ .

$m_{1} = - \frac{4}{5}$

Étape 3

Réécrivez en forme affine.

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Étape 3.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 3.2

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y = 2 - 5 x$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- 4 y = 2 - 5 x$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 4 y = 2 - 5 x$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{2}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{2}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 4$ .

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Étape 3.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{2 (1)}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Étape 3.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Étape 3.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Étape 3.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{- 2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Étape 3.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Étape 3.3.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - \frac{1}{2} + \frac{5 x}{4}$

Étape 3.4

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.4.1

Remettez dans l’ordre $- \frac{1}{2}$ et $\frac{5 x}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 3.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{5}{4} x - \frac{1}{2}$

Étape 4

En utilisant la forme affine, la pente est $\frac{5}{4}$ .

$m_{2} = \frac{5}{4}$

Étape 5

Définissez le système d’équations pour déterminer tout point d’intersection.

$4 x + 5 y = 8, 5 x - 4 y = 2$

Étape 6

Résolvez le système d’équations pour déterminer le point d’intersection.

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Étape 6.1

Résolvez $x$ dans $4 x + 5 y = 8$ .

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Étape 6.1.1

Soustrayez $5 y$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = 8 - 5 y$

$5 x - 4 y = 2$

Étape 6.1.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 8 - 5 y$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.1.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 8 - 5 y$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Étape 6.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Étape 6.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Étape 6.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.3.1.1

Divisez $8$ par $4$ .

$x = 2 + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Étape 6.1.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Étape 6.2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $2 - \frac{5 y}{4}$ dans chaque équation.

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Étape 6.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $5 x - 4 y = 2$ par $2 - \frac{5 y}{4}$ .

$5 (2 - \frac{5 y}{4}) - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $5 (2 - \frac{5 y}{4}) - 4 y$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 \cdot 2 + 5 (- \frac{5 y}{4}) - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$10 + 5 (- \frac{5 y}{4}) - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.2.2.1.1.3

Multipliez $5 (- \frac{5 y}{4})$ .

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Étape 6.2.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$10 - 5 \frac{5 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.2.2.1.1.3.2

Associez $- 5$ et $\frac{5 y}{4}$ .

$10 + \frac{- 5 (5 y)}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.2.2.1.1.3.3

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$10 + \frac{- 25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{- 25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.2.2.1.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$10 - \frac{25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.2.2.1.2

Pour écrire $- 4 y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$10 - \frac{25 y}{4} - 4 y \cdot \frac{4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 6.2.2.1.3.1

Associez $- 4 y$ et $\frac{4}{4}$ .

$10 - \frac{25 y}{4} + \frac{- 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$10 + \frac{- 25 y - 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{- 25 y - 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.2.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.4.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- 25 y - 4 y \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.4.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- 25 y$ .

$10 + \frac{y \cdot - 25 - 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.2.2.1.4.1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- 4 y \cdot 4$ .

$10 + \frac{y \cdot - 25 + y (- 4 \cdot 4)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.2.2.1.4.1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot - 25 + y (- 4 \cdot 4)$ .

$10 + \frac{y (- 25 - 4 \cdot 4)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{y (- 25 - 4 \cdot 4)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.2.2.1.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$10 + \frac{y (- 25 - 16)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.2.2.1.4.1.3

Soustrayez $16$ de $- 25$ .

$10 + \frac{y \cdot - 41}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{y \cdot - 41}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.2.2.1.4.2

Déplacez $- 41$ à gauche de $y$ .

$10 + \frac{- 41 \cdot y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.2.2.1.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.3

Résolvez $y$ dans $10 - \frac{41 y}{4} = 2$ .

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Étape 6.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.1.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{41 y}{4} = 2 - 10$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.3.1.2

Soustrayez $10$ de $2$ .

$- \frac{41 y}{4} = - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$- \frac{41 y}{4} = - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{4}{41}$ .

$- \frac{4}{41} \cdot (- \frac{41 y}{4}) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.3.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.1.1

Simplifiez $- \frac{4}{41} (- \frac{41 y}{4})$ .

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Étape 6.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{41}$ dans le numérateur.

$\frac{- 4}{41} \cdot (- \frac{41 y}{4}) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.3.3.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{41 y}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{- 4}{41} \cdot \frac{- 41 y}{4} = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.3.3.1.1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{41} \cdot \frac{- 41 y}{4} = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.3.3.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 1}{41} \cdot \frac{- 41 y}{4} = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.3.3.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{41} \cdot (- 41 y) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$\frac{- 1}{41} \cdot (- 41 y) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $41$ .

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Étape 6.3.3.1.1.2.1

Factorisez $41$ à partir de $- 41 y$ .

$\frac{- 1}{41} \cdot (41 (- y)) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{41} \cdot (41 (- y)) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.3.3.1.1.3

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.3.3.1.1.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Multipliez $- \frac{4}{41} \cdot - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1.1

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$y = 8 (\frac{4}{41})$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.3.3.2.1.2

Associez $8$ et $\frac{4}{41}$ .

$y = \frac{8 \cdot 4}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.3.3.2.1.3

Multipliez $8$ par $4$ .

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Étape 6.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $\frac{32}{41}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 2 - \frac{5 y}{4}$ par $\frac{32}{41}$ .

$x = 2 - \frac{5 (\frac{32}{41})}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Simplifiez $2 - \frac{5 (\frac{32}{41})}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1.1

Associez $5$ et $\frac{32}{41}$ .

$x = 2 - \frac{\frac{5 \cdot 32}{41}}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

Étape 6.4.2.1.1.2

Multipliez $5$ par $32$ .

$x = 2 - \frac{\frac{160}{41}}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

Étape 6.4.2.1.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = 2 - (\frac{160}{41} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{32}{41}$

Étape 6.4.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $160$ .

$x = 2 - (\frac{4 (40)}{41} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{32}{41}$

Étape 6.4.2.1.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 - (\frac{4 \cdot 40}{41} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{32}{41}$

Étape 6.4.2.1.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$x = 2 - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Étape 6.4.2.1.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{41}{41}$ .

$x = 2 \cdot \frac{41}{41} - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Étape 6.4.2.1.3

Associez $2$ et $\frac{41}{41}$ .

$x = \frac{2 \cdot 41}{41} - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Étape 6.4.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 \cdot 41 - 40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Étape 6.4.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.5.1

Multipliez $2$ par $41$ .

$x = \frac{82 - 40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Étape 6.4.2.1.5.2

Soustrayez $40$ de $82$ .

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Étape 6.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(\frac{42}{41}, \frac{32}{41})$

Étape 7

Comme les pentes sont différentes, les droites auront exactement le même point d’intersection.

$m_{1} = - \frac{4}{5}$

$m_{2} = \frac{5}{4}$

$(\frac{42}{41}, \frac{32}{41})$

Étape 8