Ensembles finis Exemples

$\frac{\sqrt{15} - 3}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{15} - 3}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{15} - 3}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{15} - 3}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{15} - 3) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{15} - 3) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{15} - \sqrt{15} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{15} - 3) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Développez $(\sqrt{15} - 3) (\sqrt{5} + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{15} (\sqrt{5} + \sqrt{3}) - 3 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}$

Étape 3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{15} \sqrt{5} + \sqrt{15} \sqrt{3} - 3 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{15} \sqrt{5} + \sqrt{15} \sqrt{3} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{15 \cdot 5} + \sqrt{15} \sqrt{3} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $15$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{75} + \sqrt{15} \sqrt{3} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$\frac{\sqrt{25 (3)} + \sqrt{15} \sqrt{3} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.1.3.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3} + \sqrt{15} \sqrt{3} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{15} \sqrt{3} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{15 \cdot 3} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $15$ par $3$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{45} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.1.7

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 3.2.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{9 (5)} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2} \cdot 5} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $3 \sqrt{5}$ de $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 0}{2}$

Étape 3.2.4

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $0$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\sqrt{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{3}$

Forme décimale :

$1.73205080 \dots$