Ensembles finis Exemples

$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt[5]{20}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt[5]{20}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{20}}^{4}}{{\sqrt[5]{20}}^{4}}$ .

$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt[5]{20}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{20}}^{4}}{{\sqrt[5]{20}}^{4}}$

Étape 2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt[5]{20}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{20}}^{4}}{{\sqrt[5]{20}}^{4}}$ .

$\frac{\sqrt{15} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{\sqrt[5]{20} {\sqrt[5]{20}}^{4}}$

Étape 2.2

Élevez $\sqrt[5]{20}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{15} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{{\sqrt[5]{20}}^{1} {\sqrt[5]{20}}^{4}}$

Étape 2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{15} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{{\sqrt[5]{20}}^{1 + 4}}$

Étape 2.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{\sqrt{15} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{{\sqrt[5]{20}}^{5}}$

Étape 2.5

Réécrivez ${\sqrt[5]{20}}^{5}$ comme $20$ .

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Étape 2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{20}$ comme $20^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{\sqrt{15} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{{(20^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{20^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Étape 2.5.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$\frac{\sqrt{15} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{20^{\frac{5}{5}}}$

Étape 2.5.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{15} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{20^{\frac{5}{5}}}$

Étape 2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{15} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{20^{1}}$

Étape 2.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{15} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{20}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{20}}^{4}$ comme $\sqrt[5]{20^{4}}$ .

$\frac{\sqrt{15} \sqrt[5]{20^{4}}}{20}$

Étape 3.2

Élevez $20$ à la puissance $4$ .

$\frac{\sqrt{15} \sqrt[5]{160000}}{20}$

Étape 3.3

Réécrivez $160000$ comme $2^{5} \cdot 5000$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $32$ à partir de $160000$ .

$\frac{\sqrt{15} \sqrt[5]{32 (5000)}}{20}$

Étape 3.3.2

Réécrivez $32$ comme $2^{5}$ .

$\frac{\sqrt{15} \sqrt[5]{2^{5} \cdot 5000}}{20}$

Étape 3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{15} \cdot 2 \sqrt[5]{5000}}{20}$

Étape 3.5

Associez les exposants.

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $10$ .

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Étape 3.5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (15^{\frac{1}{2}} \sqrt[5]{5000})}{20}$

Étape 3.5.1.2

Réécrivez $15^{\frac{1}{2}}$ comme $15^{\frac{5}{10}}$ .

$\frac{2 (15^{\frac{5}{10}} \sqrt[5]{5000})}{20}$

Étape 3.5.1.3

Réécrivez $15^{\frac{5}{10}}$ comme $\sqrt[10]{15^{5}}$ .

$\frac{2 (\sqrt[10]{15^{5}} \sqrt[5]{5000})}{20}$

Étape 3.5.1.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{5000}$ comme $5000^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{2 (\sqrt[10]{15^{5}} \cdot 5000^{\frac{1}{5}})}{20}$

Étape 3.5.1.5

Réécrivez $5000^{\frac{1}{5}}$ comme $5000^{\frac{2}{10}}$ .

$\frac{2 (\sqrt[10]{15^{5}} \cdot 5000^{\frac{2}{10}})}{20}$

Étape 3.5.1.6

Réécrivez $5000^{\frac{2}{10}}$ comme $\sqrt[10]{5000^{2}}$ .

$\frac{2 (\sqrt[10]{15^{5}} \sqrt[10]{5000^{2}})}{20}$

Étape 3.5.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 \sqrt[10]{15^{5} \cdot 5000^{2}}}{20}$

Étape 3.5.3

Élevez $15$ à la puissance $5$ .

$\frac{2 \sqrt[10]{759375 \cdot 5000^{2}}}{20}$

Étape 3.5.4

Élevez $5000$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \sqrt[10]{759375 \cdot 25000000}}{20}$

Étape 3.5.5

Multipliez $759375$ par $25000000$ .

$\frac{2 \sqrt[10]{18984375000000}}{20}$

Étape 3.6

Réécrivez $18984375000000$ comme $5^{10} \cdot 1944000$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $9765625$ à partir de $18984375000000$ .

$\frac{2 \sqrt[10]{9765625 (1944000)}}{20}$

Étape 3.6.2

Réécrivez $9765625$ comme $5^{10}$ .

$\frac{2 \sqrt[10]{5^{10} \cdot 1944000}}{20}$

Étape 3.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 (5 \sqrt[10]{1944000})}{20}$

Étape 4

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{10 \sqrt[10]{1944000}}{20}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $10$ et $20$ .

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Étape 5.1

Factorisez $10$ à partir de $10 \sqrt[10]{1944000}$ .

$\frac{10 (\sqrt[10]{1944000})}{20}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Factorisez $10$ à partir de $20$ .

$\frac{10 \sqrt[10]{1944000}}{10 \cdot 2}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 \sqrt[10]{1944000}}{10 \cdot 2}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt[10]{1944000}}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt[10]{1944000}}{2}$

Forme décimale :

$2.12735334 \dots$