Ensembles finis Exemples

$\frac{\sqrt{14} - \sqrt{11}}{\sqrt{14} + \sqrt{11}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{11}}{\sqrt{14} + \sqrt{11}}$ par $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{11}}{\sqrt{14} - \sqrt{11}}$ .

$\frac{\sqrt{14} - \sqrt{11}}{\sqrt{14} + \sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{14} - \sqrt{11}}{\sqrt{14} - \sqrt{11}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{11}}{\sqrt{14} + \sqrt{11}}$ par $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{11}}{\sqrt{14} - \sqrt{11}}$ .

$\frac{(\sqrt{14} - \sqrt{11}) (\sqrt{14} - \sqrt{11})}{(\sqrt{14} + \sqrt{11}) (\sqrt{14} - \sqrt{11})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{14} - \sqrt{11}) (\sqrt{14} - \sqrt{11})}{{\sqrt{14}}^{2} - \sqrt{154} + \sqrt{154} - {\sqrt{11}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{14} - \sqrt{11}) (\sqrt{14} - \sqrt{11})}{3}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Élevez $\sqrt{14} - \sqrt{11}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{14} - \sqrt{11})}^{1} (\sqrt{14} - \sqrt{11})}{3}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{14} - \sqrt{11}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{14} - \sqrt{11})}^{1} {(\sqrt{14} - \sqrt{11})}^{1}}{3}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{14} - \sqrt{11})}^{1 + 1}}{3}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{14} - \sqrt{11})}^{2}}{3}$

Étape 4

Réécrivez ${(\sqrt{14} - \sqrt{11})}^{2}$ comme $(\sqrt{14} - \sqrt{11}) (\sqrt{14} - \sqrt{11})$ .

$\frac{(\sqrt{14} - \sqrt{11}) (\sqrt{14} - \sqrt{11})}{3}$

Étape 5

Développez $(\sqrt{14} - \sqrt{11}) (\sqrt{14} - \sqrt{11})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{14} (\sqrt{14} - \sqrt{11}) - \sqrt{11} (\sqrt{14} - \sqrt{11})}{3}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{14} \sqrt{14} + \sqrt{14} (- \sqrt{11}) - \sqrt{11} (\sqrt{14} - \sqrt{11})}{3}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{14} \sqrt{14} + \sqrt{14} (- \sqrt{11}) - \sqrt{11} \sqrt{14} - \sqrt{11} (- \sqrt{11})}{3}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{14 \cdot 14} + \sqrt{14} (- \sqrt{11}) - \sqrt{11} \sqrt{14} - \sqrt{11} (- \sqrt{11})}{3}$

Étape 6.1.2

Multipliez $14$ par $14$ .

$\frac{\sqrt{196} + \sqrt{14} (- \sqrt{11}) - \sqrt{11} \sqrt{14} - \sqrt{11} (- \sqrt{11})}{3}$

Étape 6.1.3

Réécrivez $196$ comme $14^{2}$ .

$\frac{\sqrt{14^{2}} + \sqrt{14} (- \sqrt{11}) - \sqrt{11} \sqrt{14} - \sqrt{11} (- \sqrt{11})}{3}$

Étape 6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{14 + \sqrt{14} (- \sqrt{11}) - \sqrt{11} \sqrt{14} - \sqrt{11} (- \sqrt{11})}{3}$

Étape 6.1.5

Multipliez $\sqrt{14} (- \sqrt{11})$ .

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Étape 6.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{14 - \sqrt{14 \cdot 11} - \sqrt{11} \sqrt{14} - \sqrt{11} (- \sqrt{11})}{3}$

Étape 6.1.5.2

Multipliez $14$ par $11$ .

$\frac{14 - \sqrt{154} - \sqrt{11} \sqrt{14} - \sqrt{11} (- \sqrt{11})}{3}$

Étape 6.1.6

Multipliez $- \sqrt{11} \sqrt{14}$ .

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Étape 6.1.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{14 - \sqrt{154} - \sqrt{14 \cdot 11} - \sqrt{11} (- \sqrt{11})}{3}$

Étape 6.1.6.2

Multipliez $14$ par $11$ .

$\frac{14 - \sqrt{154} - \sqrt{154} - \sqrt{11} (- \sqrt{11})}{3}$

Étape 6.1.7

Multipliez $- \sqrt{11} (- \sqrt{11})$ .

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Étape 6.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{14 - \sqrt{154} - \sqrt{154} + 1 \sqrt{11} \sqrt{11}}{3}$

Étape 6.1.7.2

Multipliez $\sqrt{11}$ par $1$ .

$\frac{14 - \sqrt{154} - \sqrt{154} + \sqrt{11} \sqrt{11}}{3}$

Étape 6.1.7.3

Élevez $\sqrt{11}$ à la puissance $1$ .

$\frac{14 - \sqrt{154} - \sqrt{154} + {\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}}{3}$

Étape 6.1.7.4

Élevez $\sqrt{11}$ à la puissance $1$ .

$\frac{14 - \sqrt{154} - \sqrt{154} + {\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}}{3}$

Étape 6.1.7.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{14 - \sqrt{154} - \sqrt{154} + {\sqrt{11}}^{1 + 1}}{3}$

Étape 6.1.7.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{14 - \sqrt{154} - \sqrt{154} + {\sqrt{11}}^{2}}{3}$

Étape 6.1.8

Réécrivez ${\sqrt{11}}^{2}$ comme $11$ .

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Étape 6.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{11}$ comme $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{14 - \sqrt{154} - \sqrt{154} + {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Étape 6.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14 - \sqrt{154} - \sqrt{154} + 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Étape 6.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{14 - \sqrt{154} - \sqrt{154} + 11^{\frac{2}{2}}}{3}$

Étape 6.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 - \sqrt{154} - \sqrt{154} + 11^{\frac{2}{2}}}{3}$

Étape 6.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{14 - \sqrt{154} - \sqrt{154} + 11^{1}}{3}$

Étape 6.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{14 - \sqrt{154} - \sqrt{154} + 11}{3}$

Étape 6.2

Additionnez $14$ et $11$ .

$\frac{25 - \sqrt{154} - \sqrt{154}}{3}$

Étape 6.3

Soustrayez $\sqrt{154}$ de $- \sqrt{154}$ .

$\frac{25 - 2 \sqrt{154}}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{25 - 2 \sqrt{154}}{3}$

Forme décimale :

$0.06021756 \dots$