Ensembles finis Exemples

$2 x - 3 y = 4$ , $3 x - 5 y = 2$

Étape 1

Réécrivez en forme affine.

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Étape 1.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 1.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y = 4 - 2 x$

Étape 1.3

Divisez chaque terme dans $- 3 y = 4 - 2 x$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 1.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 y = 4 - 2 x$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{4}{- 3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{4}{- 3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Étape 1.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{4}{- 3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{4}{3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Étape 1.3.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - \frac{4}{3} + \frac{2 x}{3}$

Étape 1.4

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 1.4.1

Remettez dans l’ordre $- \frac{4}{3}$ et $\frac{2 x}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{4}{3}$

Étape 2

En utilisant la forme affine, la pente est $\frac{2}{3}$ .

$m_{1} = \frac{2}{3}$

Étape 3

Réécrivez en forme affine.

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Étape 3.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 3.2

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 y = 2 - 3 x$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- 5 y = 2 - 3 x$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 5 y = 2 - 3 x$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{2}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{2}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2}{5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Étape 3.3.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - \frac{2}{5} + \frac{3 x}{5}$

Étape 3.4

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.4.1

Remettez dans l’ordre $- \frac{2}{5}$ et $\frac{3 x}{5}$ .

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{2}{5}$

Étape 3.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{3}{5} x - \frac{2}{5}$

Étape 4

En utilisant la forme affine, la pente est $\frac{3}{5}$ .

$m_{2} = \frac{3}{5}$

Étape 5

Définissez le système d’équations pour déterminer tout point d’intersection.

$2 x - 3 y = 4, 3 x - 5 y = 2$

Étape 6

Résolvez le système d’équations pour déterminer le point d’intersection.

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Étape 6.1

Résolvez $x$ dans $2 x - 3 y = 4$ .

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Étape 6.1.1

Ajoutez $3 y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 4 + 3 y$

$3 x - 5 y = 2$

Étape 6.1.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 4 + 3 y$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.1.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 4 + 3 y$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Étape 6.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Étape 6.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Étape 6.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.2.3.1

Divisez $4$ par $2$ .

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Étape 6.2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $2 + \frac{3 y}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 6.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $3 x - 5 y = 2$ par $2 + \frac{3 y}{2}$ .

$3 (2 + \frac{3 y}{2}) - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $3 (2 + \frac{3 y}{2}) - 5 y$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 2 + 3 (\frac{3 y}{2}) - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 + 3 (\frac{3 y}{2}) - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.2.2.1.1.3

Multipliez $3 \frac{3 y}{2}$ .

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Étape 6.2.2.1.1.3.1

Associez $3$ et $\frac{3 y}{2}$ .

$6 + \frac{3 (3 y)}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.2.2.1.1.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.2.2.1.2

Pour écrire $- 5 y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y \cdot \frac{2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 6.2.2.1.3.1

Associez $- 5 y$ et $\frac{2}{2}$ .

$6 + \frac{9 y}{2} + \frac{- 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 + \frac{9 y - 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{9 y - 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.2.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.4.1.1

Factorisez $y$ à partir de $9 y - 5 y \cdot 2$ .

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Étape 6.2.2.1.4.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $9 y$ .

$6 + \frac{y \cdot 9 - 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.2.2.1.4.1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- 5 y \cdot 2$ .

$6 + \frac{y \cdot 9 + y (- 5 \cdot 2)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.2.2.1.4.1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 9 + y (- 5 \cdot 2)$ .

$6 + \frac{y (9 - 5 \cdot 2)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{y (9 - 5 \cdot 2)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.2.2.1.4.1.2

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$6 + \frac{y (9 - 10)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.2.2.1.4.1.3

Soustrayez $10$ de $9$ .

$6 + \frac{y \cdot - 1}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{y \cdot - 1}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.2.2.1.4.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$6 + \frac{- 1 \cdot y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.2.2.1.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.3

Résolvez $y$ dans $6 - \frac{y}{2} = 2$ .

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Étape 6.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.1.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{y}{2} = 2 - 6$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.3.1.2

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- \frac{y}{2} = - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$- \frac{y}{2} = - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

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Étape 6.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.3.3.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) (\frac{- y}{2}) = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.3.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot (- 1 \frac{- y}{2}) = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.3.3.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.3.3.1.1.2

Multipliez.

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Étape 6.3.3.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.3.3.1.1.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Étape 6.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $8$ dans chaque équation.

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Étape 6.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 2 + \frac{3 y}{2}$ par $8$ .

$x = 2 + \frac{3 (8)}{2}$

$y = 8$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Simplifiez $2 + \frac{3 (8)}{2}$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$x = 2 + \frac{24}{2}$

$y = 8$

Étape 6.4.2.1.2

Divisez $24$ par $2$ .

$x = 2 + 12$

$y = 8$

Étape 6.4.2.1.3

Additionnez $2$ et $12$ .

$x = 14$

$y = 8$

$x = 14$

$y = 8$

$x = 14$

$y = 8$

$x = 14$

$y = 8$

Étape 6.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(14, 8)$

Étape 7

Comme les pentes sont différentes, les droites auront exactement le même point d’intersection.

$m_{1} = \frac{2}{3}$

$m_{2} = \frac{3}{5}$

$(14, 8)$

Étape 8