Ensembles finis Exemples

$2 x + 5 y = 10$ , $x - 3 y = 3$

Étape 1

Réécrivez en forme affine.

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Étape 1.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 1.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$5 y = 10 - 2 x$

Étape 1.3

Divisez chaque terme dans $5 y = 10 - 2 x$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 1.3.1

Divisez chaque terme dans $5 y = 10 - 2 x$ par $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{10}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y}{5} = \frac{10}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Étape 1.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{10}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Divisez $10$ par $5$ .

$y = 2 + \frac{- 2 x}{5}$

Étape 1.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = 2 - \frac{2 x}{5}$

Étape 1.4

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 1.4.1

Remettez dans l’ordre $2$ et $- \frac{2 x}{5}$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 2$

Étape 1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{2}{5} x) + 2$

Étape 1.4.3

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{2}{5} x + 2$

Étape 2

En utilisant la forme affine, la pente est $- \frac{2}{5}$ .

$m_{1} = - \frac{2}{5}$

Étape 3

Réécrivez en forme affine.

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Étape 3.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 3.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y = 3 - x$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- 3 y = 3 - x$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 y = 3 - x$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{3}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{3}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{3}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Divisez $3$ par $- 3$ .

$y = - 1 + \frac{- x}{- 3}$

Étape 3.3.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - 1 + \frac{x}{3}$

Étape 3.4

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.4.1

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $\frac{x}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - 1$

Étape 3.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{3} x - 1$

Étape 4

En utilisant la forme affine, la pente est $\frac{1}{3}$ .

$m_{2} = \frac{1}{3}$

Étape 5

Définissez le système d’équations pour déterminer tout point d’intersection.

$2 x + 5 y = 10, x - 3 y = 3$

Étape 6

Résolvez le système d’équations pour déterminer le point d’intersection.

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Étape 6.1

Ajoutez $3 y$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3 + 3 y$

$2 x + 5 y = 10$

Étape 6.2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $3 + 3 y$ dans chaque équation.

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Étape 6.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $2 x + 5 y = 10$ par $3 + 3 y$ .

$2 (3 + 3 y) + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $2 (3 + 3 y) + 5 y$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 3 + 2 (3 y) + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Étape 6.2.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 + 2 (3 y) + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Étape 6.2.2.1.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 + 6 y + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 6 y + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Étape 6.2.2.1.2

Additionnez $6 y$ et $5 y$ .

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Étape 6.3

Résolvez $y$ dans $6 + 11 y = 10$ .

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Étape 6.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.1.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$11 y = 10 - 6$

$x = 3 + 3 y$

Étape 6.3.1.2

Soustrayez $6$ de $10$ .

$11 y = 4$

$x = 3 + 3 y$

$11 y = 4$

$x = 3 + 3 y$

Étape 6.3.2

Divisez chaque terme dans $11 y = 4$ par $11$ et simplifiez.

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Étape 6.3.2.1

Divisez chaque terme dans $11 y = 4$ par $11$ .

$\frac{11 y}{11} = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 y}{11} = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

Étape 6.3.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

Étape 6.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $\frac{4}{11}$ dans chaque équation.

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Étape 6.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 3 + 3 y$ par $\frac{4}{11}$ .

$x = 3 + 3 (\frac{4}{11})$

$y = \frac{4}{11}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez $3 + 3 (\frac{4}{11})$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Multipliez $3 (\frac{4}{11})$ .

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Étape 6.4.2.1.1.1

Associez $3$ et $\frac{4}{11}$ .

$x = 3 + \frac{3 \cdot 4}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Étape 6.4.2.1.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$x = 3 + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Étape 6.4.2.1.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{11}{11}$ .

$x = 3 \cdot \frac{11}{11} + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Étape 6.4.2.1.3

Associez $3$ et $\frac{11}{11}$ .

$x = \frac{3 \cdot 11}{11} + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Étape 6.4.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 \cdot 11 + 12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Étape 6.4.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.1.5.1

Multipliez $3$ par $11$ .

$x = \frac{33 + 12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Étape 6.4.2.1.5.2

Additionnez $33$ et $12$ .

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Étape 6.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(\frac{45}{11}, \frac{4}{11})$

Étape 7

Comme les pentes sont différentes, les droites auront exactement le même point d’intersection.

$m_{1} = - \frac{2}{5}$

$m_{2} = \frac{1}{3}$

$(\frac{45}{11}, \frac{4}{11})$

Étape 8