Ensembles finis Exemples

$3 x + 4 y = 2$ , $4 x + 3 y = 4$

Étape 1

Réécrivez en forme affine.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 1.2

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 y = 2 - 3 x$

Étape 1.3

Divisez chaque terme dans $4 y = 2 - 3 x$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.3.1

Divisez chaque terme dans $4 y = 2 - 3 x$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{2}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{2}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Étape 1.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{2 (1)}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Étape 1.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 3 x}{4}$

Étape 1.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 3 x}{4}$

Étape 1.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{2} + \frac{- 3 x}{4}$

Étape 1.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{1}{2} - \frac{3 x}{4}$

Étape 1.4

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 1.4.1

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $- \frac{3 x}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{1}{2}$

Étape 1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{3}{4} x) + \frac{1}{2}$

Étape 1.4.3

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{4} x + \frac{1}{2}$

Étape 2

En utilisant la forme affine, la pente est $- \frac{3}{4}$ .

$m_{1} = - \frac{3}{4}$

Étape 3

Réécrivez en forme affine.

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Étape 3.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 3.2

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$3 y = 4 - 4 x$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $3 y = 4 - 4 x$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 y = 4 - 4 x$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{- 4 x}{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{- 4 x}{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{4}{3} + \frac{- 4 x}{3}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{4}{3} - \frac{4 x}{3}$

Étape 3.4

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Remettez dans l’ordre $\frac{4}{3}$ et $- \frac{4 x}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 3.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{4}{3} x) + \frac{4}{3}$

Étape 3.4.3

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{4}{3}$

Étape 4

En utilisant la forme affine, la pente est $- \frac{4}{3}$ .

$m_{2} = - \frac{4}{3}$

Étape 5

Définissez le système d’équations pour déterminer tout point d’intersection.

$3 x + 4 y = 2, 4 x + 3 y = 4$

Étape 6

Résolvez le système d’équations pour déterminer le point d’intersection.

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Étape 6.1

Résolvez $x$ dans $3 x + 4 y = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = 2 - 4 y$

$4 x + 3 y = 4$

Étape 6.1.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 2 - 4 y$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2 - 4 y$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Étape 6.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Étape 6.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Étape 6.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Étape 6.2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $4 x + 3 y = 4$ par $\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$ .

$4 (\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Simplifiez $4 (\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}) + 3 y$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (\frac{2}{3}) + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Multipliez $4 (\frac{2}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.2.1

Associez $4$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{3} + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.1.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8}{3} + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8}{3} + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.1.3

Multipliez $4 (- \frac{4 y}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{8}{3} - 4 \frac{4 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.1.3.2

Associez $- 4$ et $\frac{4 y}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 4 (4 y)}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8}{3} + \frac{- 16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.2

Pour écrire $3 y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + 3 y \cdot \frac{3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.3

Associez $3 y$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + \frac{3 y \cdot 3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8}{3} + \frac{- 16 y + 3 y \cdot 3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 - 16 y + 3 y \cdot 3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{8 - 16 y + 9 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.2.2.1.7

Additionnez $- 16 y$ et $9 y$ .

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3

Résolvez $y$ dans $\frac{8 - 7 y}{3} = 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Multipliez les deux côtés par $3$ .

$\frac{8 - 7 y}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1

Simplifiez $\frac{8 - 7 y}{3} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 - 7 y}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$8 - 7 y = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$8 - 7 y = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $8$ et $- 7 y$ .

$- 7 y + 8 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$- 7 y + 8 = 12$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 12$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 12$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- 7 y = 12 - 8$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3.3.1.2

Soustrayez $8$ de $12$ .

$- 7 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- 7 y = 4$ par $- 7$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 7 y = 4$ par $- 7$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3.3.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Étape 6.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- \frac{4}{7}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$ par $- \frac{4}{7}$ .

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 (- \frac{4}{7})}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Simplifiez $\frac{2}{3} - \frac{4 (- \frac{4}{7})}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 - 4 (- \frac{4}{7})}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Étape 6.4.2.1.2

Multipliez $- 4 (- \frac{4}{7})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 + 4 (\frac{4}{7})}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Étape 6.4.2.1.2.2

Associez $4$ et $\frac{4}{7}$ .

$x = \frac{2 + \frac{4 \cdot 4}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Étape 6.4.2.1.2.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$x = \frac{2 + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2 + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Étape 6.4.2.1.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{2 \cdot \frac{7}{7} + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Étape 6.4.2.1.4

Associez $2$ et $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{\frac{2 \cdot 7}{7} + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Étape 6.4.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{\frac{2 \cdot 7 + 16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Étape 6.4.2.1.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.6.1

Multipliez $2$ par $7$ .

$x = \frac{\frac{14 + 16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Étape 6.4.2.1.6.2

Additionnez $14$ et $16$ .

$x = \frac{\frac{30}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{\frac{30}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Étape 6.4.2.1.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{30}{7} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Étape 6.4.2.1.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.8.1

Factorisez $3$ à partir de $30$ .

$x = \frac{3 (10)}{7} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Étape 6.4.2.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 \cdot 10}{7} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Étape 6.4.2.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

Étape 6.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(\frac{10}{7}, - \frac{4}{7})$

Étape 7

Comme les pentes sont différentes, les droites auront exactement le même point d’intersection.

$m_{1} = - \frac{3}{4}$

$m_{2} = - \frac{4}{3}$

$(\frac{10}{7}, - \frac{4}{7})$

Étape 8