Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 100 & 13 & 300 \\ 200 & 13 & 650 \\ 500 & 7 & 150 \end{array}]$

Étape 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Étape 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 13 & 650 \\ 7 & 150 \end{array} |$

Étape 2.1.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 13 \cdot 150 - 7 \cdot 650$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.1

Multipliez $13$ par $150$ .

$a_{11} = 1950 - 7 \cdot 650$

Étape 2.1.2.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $650$ .

$a_{11} = 1950 - 4550$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez $4550$ de $1950$ .

$a_{11} = - 2600$

Étape 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 200 & 650 \\ 500 & 150 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 200 \cdot 150 - 500 \cdot 650$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Multipliez $200$ par $150$ .

$a_{12} = 30000 - 500 \cdot 650$

Étape 2.2.2.2.1.2

Multipliez $- 500$ par $650$ .

$a_{12} = 30000 - 325000$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez $325000$ de $30000$ .

$a_{12} = - 295000$

Étape 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 200 & 13 \\ 500 & 7 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 200 \cdot 7 - 500 \cdot 13$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.1

Multipliez $200$ par $7$ .

$a_{13} = 1400 - 500 \cdot 13$

Étape 2.3.2.2.1.2

Multipliez $- 500$ par $13$ .

$a_{13} = 1400 - 6500$

Étape 2.3.2.2.2

Soustrayez $6500$ de $1400$ .

$a_{13} = - 5100$

Étape 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 13 & 300 \\ 7 & 150 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 13 \cdot 150 - 7 \cdot 300$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez $13$ par $150$ .

$a_{21} = 1950 - 7 \cdot 300$

Étape 2.4.2.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $300$ .

$a_{21} = 1950 - 2100$

Étape 2.4.2.2.2

Soustrayez $2100$ de $1950$ .

$a_{21} = - 150$

Étape 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 100 & 300 \\ 500 & 150 \end{array} |$

Étape 2.5.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 100 \cdot 150 - 500 \cdot 300$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1.1

Multipliez $100$ par $150$ .

$a_{22} = 15000 - 500 \cdot 300$

Étape 2.5.2.2.1.2

Multipliez $- 500$ par $300$ .

$a_{22} = 15000 - 150000$

Étape 2.5.2.2.2

Soustrayez $150000$ de $15000$ .

$a_{22} = - 135000$

Étape 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 100 & 13 \\ 500 & 7 \end{array} |$

Étape 2.6.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 100 \cdot 7 - 500 \cdot 13$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.1

Multipliez $100$ par $7$ .

$a_{23} = 700 - 500 \cdot 13$

Étape 2.6.2.2.1.2

Multipliez $- 500$ par $13$ .

$a_{23} = 700 - 6500$

Étape 2.6.2.2.2

Soustrayez $6500$ de $700$ .

$a_{23} = - 5800$

Étape 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 13 & 300 \\ 13 & 650 \end{array} |$

Étape 2.7.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 13 \cdot 650 - 13 \cdot 300$

Étape 2.7.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1.1

Multipliez $13$ par $650$ .

$a_{31} = 8450 - 13 \cdot 300$

Étape 2.7.2.2.1.2

Multipliez $- 13$ par $300$ .

$a_{31} = 8450 - 3900$

Étape 2.7.2.2.2

Soustrayez $3900$ de $8450$ .

$a_{31} = 4550$

Étape 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 100 & 300 \\ 200 & 650 \end{array} |$

Étape 2.8.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 100 \cdot 650 - 200 \cdot 300$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1.1

Multipliez $100$ par $650$ .

$a_{32} = 65000 - 200 \cdot 300$

Étape 2.8.2.2.1.2

Multipliez $- 200$ par $300$ .

$a_{32} = 65000 - 60000$

Étape 2.8.2.2.2

Soustrayez $60000$ de $65000$ .

$a_{32} = 5000$

Étape 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 100 & 13 \\ 200 & 13 \end{array} |$

Étape 2.9.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 100 \cdot 13 - 200 \cdot 13$

Étape 2.9.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1.1

Multipliez $100$ par $13$ .

$a_{33} = 1300 - 200 \cdot 13$

Étape 2.9.2.2.1.2

Multipliez $- 200$ par $13$ .

$a_{33} = 1300 - 2600$

Étape 2.9.2.2.2

Soustrayez $2600$ de $1300$ .

$a_{33} = - 1300$

Étape 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 2600 & 295000 & - 5100 \\ 150 & - 135000 & 5800 \\ 4550 & - 5000 & - 1300 \end{array}]$