Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 0.5 & 0.1 & 0.4 \\ 0.9 & 0.1 & 0 \\ 0 & 0.1 & 0.9 \end{array}]$

Étape 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Étape 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.1 & 0 \\ 0.1 & 0.9 \end{array} |$

Étape 2.1.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 0.1 \cdot 0.9 - 0.1 \cdot 0$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.1

Multipliez $0.1$ par $0.9$ .

$a_{11} = 0.09 - 0.1 \cdot 0$

Étape 2.1.2.2.1.2

Multipliez $- 0.1$ par $0$ .

$a_{11} = 0.09 + 0$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez $0.09$ et $0$ .

$a_{11} = 0.09$

Étape 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.9 & 0 \\ 0 & 0.9 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 0.9 \cdot 0.9 + 0 \cdot 0$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Multipliez $0.9$ par $0.9$ .

$a_{12} = 0.81 + 0 \cdot 0$

Étape 2.2.2.2.1.2

Multipliez $0$ par $0$ .

$a_{12} = 0.81 + 0$

Étape 2.2.2.2.2

Additionnez $0.81$ et $0$ .

$a_{12} = 0.81$

Étape 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.9 & 0.1 \\ 0 & 0.1 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 0.9 \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.1$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.1

Multipliez $0.9$ par $0.1$ .

$a_{13} = 0.09 + 0 \cdot 0.1$

Étape 2.3.2.2.1.2

Multipliez $0$ par $0.1$ .

$a_{13} = 0.09 + 0$

Étape 2.3.2.2.2

Additionnez $0.09$ et $0$ .

$a_{13} = 0.09$

Étape 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.1 & 0.4 \\ 0.1 & 0.9 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 0.1 \cdot 0.9 - 0.1 \cdot 0.4$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez $0.1$ par $0.9$ .

$a_{21} = 0.09 - 0.1 \cdot 0.4$

Étape 2.4.2.2.1.2

Multipliez $- 0.1$ par $0.4$ .

$a_{21} = 0.09 - 0.04$

Étape 2.4.2.2.2

Soustrayez $0.04$ de $0.09$ .

$a_{21} = 0.05$

Étape 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.5 & 0.4 \\ 0 & 0.9 \end{array} |$

Étape 2.5.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 0.5 \cdot 0.9 + 0 \cdot 0.4$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1.1

Multipliez $0.5$ par $0.9$ .

$a_{22} = 0.45 + 0 \cdot 0.4$

Étape 2.5.2.2.1.2

Multipliez $0$ par $0.4$ .

$a_{22} = 0.45 + 0$

Étape 2.5.2.2.2

Additionnez $0.45$ et $0$ .

$a_{22} = 0.45$

Étape 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.5 & 0.1 \\ 0 & 0.1 \end{array} |$

Étape 2.6.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 0.5 \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.1$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.1

Multipliez $0.5$ par $0.1$ .

$a_{23} = 0.05 + 0 \cdot 0.1$

Étape 2.6.2.2.1.2

Multipliez $0$ par $0.1$ .

$a_{23} = 0.05 + 0$

Étape 2.6.2.2.2

Additionnez $0.05$ et $0$ .

$a_{23} = 0.05$

Étape 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.1 & 0.4 \\ 0.1 & 0 \end{array} |$

Étape 2.7.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 0.1 \cdot 0 - 0.1 \cdot 0.4$

Étape 2.7.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1.1

Multipliez $0.1$ par $0$ .

$a_{31} = 0 - 0.1 \cdot 0.4$

Étape 2.7.2.2.1.2

Multipliez $- 0.1$ par $0.4$ .

$a_{31} = 0 - 0.04$

Étape 2.7.2.2.2

Soustrayez $0.04$ de $0$ .

$a_{31} = - 0.04$

Étape 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.5 & 0.4 \\ 0.9 & 0 \end{array} |$

Étape 2.8.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 0.5 \cdot 0 - 0.9 \cdot 0.4$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1.1

Multipliez $0.5$ par $0$ .

$a_{32} = 0 - 0.9 \cdot 0.4$

Étape 2.8.2.2.1.2

Multipliez $- 0.9$ par $0.4$ .

$a_{32} = 0 - 0.36$

Étape 2.8.2.2.2

Soustrayez $0.36$ de $0$ .

$a_{32} = - 0.36$

Étape 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.5 & 0.1 \\ 0.9 & 0.1 \end{array} |$

Étape 2.9.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 0.5 \cdot 0.1 - 0.9 \cdot 0.1$

Étape 2.9.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1.1

Multipliez $0.5$ par $0.1$ .

$a_{33} = 0.05 - 0.9 \cdot 0.1$

Étape 2.9.2.2.1.2

Multipliez $- 0.9$ par $0.1$ .

$a_{33} = 0.05 - 0.09$

Étape 2.9.2.2.2

Soustrayez $0.09$ de $0.05$ .

$a_{33} = - 0.04$

Étape 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 0.09 & - 0.81 & 0.09 \\ - 0.05 & 0.45 & - 0.05 \\ - 0.04 & 0.36 & - 0.04 \end{array}]$