Ensembles finis Exemples

$\int \sin^{2} (1 - x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 1 - x$ . Alors $d u_{1} = - d x$ , donc $- d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 1.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int - \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 3

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$- \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 8

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 8.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 8.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Étape 9

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Étape 11

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Étape 12

Simplifiez

$- \frac{1}{2} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 13.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 - x$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 13.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Étape 13.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 - x$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 (1 - x))) + C$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 1 + 2 (- x))) + C$

Étape 14.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 + 2 (- x))) + C$

Étape 14.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 - 2 x)) + C$

Étape 14.1.4

Associez $\sin (2 - 2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (- x) - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

Étape 14.3

Simplifiez

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Étape 14.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (- x) - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

Étape 14.3.2

Multipliez $- \frac{1}{2} (- x)$ .

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Étape 14.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) x - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

Étape 14.3.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

Étape 14.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

Étape 14.3.3

Multipliez $- \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2})$ .

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Étape 14.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{\sin (2 - 2 x)}{2} + C$

Étape 14.3.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 - 2 x)}{2} + C$

Étape 14.3.3.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (2 - 2 x)}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 - 2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Étape 14.3.3.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 - 2 x)}{4} + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 - 2 x) + C$