Ensembles finis Exemples

$\frac{25!}{2! \cdot 6! \cdot 13! \cdot 4!}$

Étape 1

Réécrivez $25!$ comme $25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13!$ .

$\frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13!}{2! \cdot 6! \cdot 13! \cdot 4!}$

Étape 2

Annulez le facteur commun de $13!$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13!}{2! \cdot 6! \cdot 13! \cdot 4!}$

Étape 2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Multipliez $25$ par $24$ .

$\frac{600 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.2

Multipliez $600$ par $23$ .

$\frac{13800 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.3

Multipliez $13800$ par $22$ .

$\frac{303600 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.4

Multipliez $303600$ par $21$ .

$\frac{6375600 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.5

Multipliez $6375600$ par $20$ .

$\frac{127512000 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.6

Multipliez $127512000$ par $19$ .

$\frac{2422728000 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.7

Multipliez $2422728000$ par $18$ .

$\frac{43609104000 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.8

Multipliez $43609104000$ par $17$ .

$\frac{741354768000 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.9

Multipliez $741354768000$ par $16$ .

$\frac{11861676288000 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.10

Multipliez $11861676288000$ par $15$ .

$\frac{177925144320000 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.11

Multipliez $177925144320000$ par $14$ .

$\frac{2490952020480000}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Développez $2!$ en $2 \cdot 1$ .

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot 1 \cdot 6! 4!}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot 6! 4!}$

Étape 4.3

Développez $6!$ en $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot (6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) 4!}$

Étape 4.4

Multipliez $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $6$ par $5$ .

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot (30 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) 4!}$

Étape 4.4.2

Multipliez $30$ par $4$ .

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot (120 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) 4!}$

Étape 4.4.3

Multipliez $120$ par $3$ .

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot (360 \cdot 2 \cdot 1) 4!}$

Étape 4.4.4

Multipliez $360$ par $2$ .

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot (720 \cdot 1) 4!}$

Étape 4.4.5

Multipliez $720$ par $1$ .

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot 7204!}$

Étape 4.5

Développez $4!$ en $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot 720 (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}$

Étape 4.6

Multipliez $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 4.6.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot 720 (12 \cdot 2 \cdot 1)}$

Étape 4.6.2

Multipliez $12$ par $2$ .

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot 720 (24 \cdot 1)}$

Étape 4.6.3

Multipliez $24$ par $1$ .

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot 720 \cdot 24}$

Étape 4.7

Associez les exposants.

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Étape 4.7.1

Multipliez $2$ par $720$ .

$\frac{2490952020480000}{1440 \cdot 24}$

Étape 4.7.2

Multipliez $1440$ par $24$ .

$\frac{2490952020480000}{34560}$

Étape 5

Divisez $2490952020480000$ par $34560$ .

$72076158000$