Ensembles finis Exemples

\frac{25!}{2! \cdot 6! \cdot 13! \cdot 4!}

$\frac{25!}{2! \cdot 6! \cdot 13! \cdot 4!}$

Étape 1

Réécrivez

25!

$25!$ comme

25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13!

$25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13!$ .

\frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13!}{2! \cdot 6! \cdot 13! \cdot 4!}

$\frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13!}{2! \cdot 6! \cdot 13! \cdot 4!}$

Étape 2

Annulez le facteur commun de

13!

$13!$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun.

\frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13!}{2! \cdot 6! \cdot 13! \cdot 4!}

$\frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13!}{2! \cdot 6! \cdot 13! \cdot 4!}$

Étape 2.2

Réécrivez l’expression.

\frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}

$\frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

\frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}

$\frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Multipliez

25

$25$ par

24

$24$ .

\frac{600 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}

$\frac{600 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.2

Multipliez

600

$600$ par

23

$23$ .

\frac{13800 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}

$\frac{13800 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.3

Multipliez

13800

$13800$ par

22

$22$ .

\frac{303600 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}

$\frac{303600 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.4

Multipliez

303600

$303600$ par

21

$21$ .

\frac{6375600 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}

$\frac{6375600 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.5

Multipliez

6375600

$6375600$ par

20

$20$ .

\frac{127512000 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}

$\frac{127512000 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.6

Multipliez

127512000

$127512000$ par

19

$19$ .

\frac{2422728000 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}

$\frac{2422728000 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.7

Multipliez

2422728000

$2422728000$ par

18

$18$ .

\frac{43609104000 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}

$\frac{43609104000 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.8

Multipliez

43609104000

$43609104000$ par

17

$17$ .

\frac{741354768000 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}

$\frac{741354768000 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.9

Multipliez

741354768000

$741354768000$ par

16

$16$ .

\frac{11861676288000 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}

$\frac{11861676288000 \cdot 15 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.10

Multipliez

11861676288000

$11861676288000$ par

15

$15$ .

\frac{177925144320000 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}

$\frac{177925144320000 \cdot 14}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 3.11

Multipliez

177925144320000

$177925144320000$ par

14

$14$ .

\frac{2490952020480000}{2! \cdot 6! \cdot 4!}

$\frac{2490952020480000}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

\frac{2490952020480000}{2! \cdot 6! \cdot 4!}

$\frac{2490952020480000}{2! \cdot 6! \cdot 4!}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Développez

2!

$2!$ en

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

\frac{2490952020480000}{2 \cdot 1 \cdot 6! 4!}

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot 1 \cdot 6! 4!}$

Étape 4.2

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

\frac{2490952020480000}{2 \cdot 6! 4!}

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot 6! 4!}$

Étape 4.3

Développez

6!

$6!$ en

6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

$6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

\frac{2490952020480000}{2 \cdot (6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) 4!}

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot (6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) 4!}$

Étape 4.4

Multipliez

6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

$6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez

6

$6$ par

5

$5$ .

\frac{2490952020480000}{2 \cdot (30 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) 4!}

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot (30 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) 4!}$

Étape 4.4.2

Multipliez

30

$30$ par

4

$4$ .

\frac{2490952020480000}{2 \cdot (120 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) 4!}

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot (120 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) 4!}$

Étape 4.4.3

Multipliez

120

$120$ par

3

$3$ .

\frac{2490952020480000}{2 \cdot (360 \cdot 2 \cdot 1) 4!}

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot (360 \cdot 2 \cdot 1) 4!}$

Étape 4.4.4

Multipliez

360

$360$ par

2

$2$ .

\frac{2490952020480000}{2 \cdot (720 \cdot 1) 4!}

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot (720 \cdot 1) 4!}$

Étape 4.4.5

Multipliez

720

$720$ par

1

$1$ .

\frac{2490952020480000}{2 \cdot 7204!}

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot 7204!}$

\frac{2490952020480000}{2 \cdot 7204!}

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot 7204!}$

Étape 4.5

Développez

4!

$4!$ en

4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

\frac{2490952020480000}{2 \cdot 720 (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot 720 (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}$

Étape 4.6

Multipliez

4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 4.6.1

Multipliez

4

$4$ par

3

$3$ .

\frac{2490952020480000}{2 \cdot 720 (12 \cdot 2 \cdot 1)}

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot 720 (12 \cdot 2 \cdot 1)}$

Étape 4.6.2

Multipliez

12

$12$ par

2

$2$ .

\frac{2490952020480000}{2 \cdot 720 (24 \cdot 1)}

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot 720 (24 \cdot 1)}$

Étape 4.6.3

Multipliez

24

$24$ par

1

$1$ .

\frac{2490952020480000}{2 \cdot 720 \cdot 24}

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot 720 \cdot 24}$

\frac{2490952020480000}{2 \cdot 720 \cdot 24}

$\frac{2490952020480000}{2 \cdot 720 \cdot 24}$

Étape 4.7

Associez les exposants.

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Étape 4.7.1

Multipliez

2

$2$ par

720

$720$ .

\frac{2490952020480000}{1440 \cdot 24}

$\frac{2490952020480000}{1440 \cdot 24}$

Étape 4.7.2

Multipliez

1440

$1440$ par

24

$24$ .

\frac{2490952020480000}{34560}

$\frac{2490952020480000}{34560}$

\frac{2490952020480000}{34560}

$\frac{2490952020480000}{34560}$

\frac{2490952020480000}{34560}

$\frac{2490952020480000}{34560}$

Étape 5

Divisez

2490952020480000

$2490952020480000$ par

34560

$34560$ .

72076158000

$72076158000$