Ensembles finis Exemples

$\frac{6 - 5 i}{7 + 3 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{6 - 5 i}{7 + 3 i}$ par le conjugué de $7 + 3 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{6 - 5 i}{7 + 3 i} \cdot \frac{7 - 3 i}{7 - 3 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(6 - 5 i) (7 - 3 i)}{(7 + 3 i) (7 - 3 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(6 - 5 i) (7 - 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (7 - 3 i) - 5 i (7 - 3 i)}{(7 + 3 i) (7 - 3 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 7 + 6 (- 3 i) - 5 i (7 - 3 i)}{(7 + 3 i) (7 - 3 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 7 + 6 (- 3 i) - 5 i \cdot 7 - 5 i (- 3 i)}{(7 + 3 i) (7 - 3 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $6$ par $7$ .

$\frac{42 + 6 (- 3 i) - 5 i \cdot 7 - 5 i (- 3 i)}{(7 + 3 i) (7 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$\frac{42 - 18 i - 5 i \cdot 7 - 5 i (- 3 i)}{(7 + 3 i) (7 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $7$ par $- 5$ .

$\frac{42 - 18 i - 35 i - 5 i (- 3 i)}{(7 + 3 i) (7 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 5 i (- 3 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez $- 3$ par $- 5$ .

$\frac{42 - 18 i - 35 i + 15 i i}{(7 + 3 i) (7 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{42 - 18 i - 35 i + 15 (i^{1} i)}{(7 + 3 i) (7 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{42 - 18 i - 35 i + 15 (i^{1} i^{1})}{(7 + 3 i) (7 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{42 - 18 i - 35 i + 15 i^{1 + 1}}{(7 + 3 i) (7 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{42 - 18 i - 35 i + 15 i^{2}}{(7 + 3 i) (7 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{42 - 18 i - 35 i + 15 \cdot - 1}{(7 + 3 i) (7 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$\frac{42 - 18 i - 35 i - 15}{(7 + 3 i) (7 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $15$ de $42$ .

$\frac{27 - 18 i - 35 i}{(7 + 3 i) (7 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez $35 i$ de $- 18 i$ .

$\frac{27 - 53 i}{(7 + 3 i) (7 - 3 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(7 + 3 i) (7 - 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{27 - 53 i}{7 (7 - 3 i) + 3 i (7 - 3 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{27 - 53 i}{7 \cdot 7 + 7 (- 3 i) + 3 i (7 - 3 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{27 - 53 i}{7 \cdot 7 + 7 (- 3 i) + 3 i \cdot 7 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{27 - 53 i}{49 + 7 (- 3 i) + 3 i \cdot 7 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 3$ par $7$ .

$\frac{27 - 53 i}{49 - 21 i + 3 i \cdot 7 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{27 - 53 i}{49 - 21 i + 21 i + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{27 - 53 i}{49 - 21 i + 21 i - 9 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{27 - 53 i}{49 - 21 i + 21 i - 9 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{27 - 53 i}{49 - 21 i + 21 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{27 - 53 i}{49 - 21 i + 21 i - 9 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{27 - 53 i}{49 - 21 i + 21 i - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 21 i$ et $21 i$ .

$\frac{27 - 53 i}{49 + 0 - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $49$ et $0$ .

$\frac{27 - 53 i}{49 - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{27 - 53 i}{49 - 9 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\frac{27 - 53 i}{49 + 9}$

Étape 2.3.4

Additionnez $49$ et $9$ .

$\frac{27 - 53 i}{58}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{27 - 53 i}{58}$ en deux fractions.

$\frac{27}{58} + \frac{- 53 i}{58}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{27}{58} - \frac{53 i}{58}$