Ensembles finis Exemples

$(- a + 1, b - 1)$ , $(a + 1, - b)$

Étape 1

Déterminer la pente de la droite entre $(- a + 1, b - 1)$ et $(a + 1, - b)$ avec $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ , qui est la variation de $y$ sur la variation de $x$ .

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Étape 1.1

La pente est égale au changement de $y$ sur le changement de $x$ , ou différence des ordonnées sur différence des abscisses.

$m = \frac{changement en y}{changement en x}$

Étape 1.2

La variation de $x$ est égale à la différence des coordonnées x (également nommées abscisses), et la variation de $y$ est égale à la différence des coordonnées y (également nommées ordonnées).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs de $x$ et $y$ dans l’équation pour déterminer la pente.

$m = \frac{- b - (b - 1)}{a + 1 - (- a + 1)}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{- b - b + 1}{a + 1 - (- a + 1)}$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{- b - b + 1}{a + 1 - (- a + 1)}$

Étape 1.4.1.3

Soustrayez $b$ de $- b$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{a + 1 - (- a + 1)}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{- 2 b + 1}{a + 1 + a - 1 \cdot 1}$

Étape 1.4.2.2

Multipliez $- - a$ .

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Étape 1.4.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{a + 1 + 1 a - 1 \cdot 1}$

Étape 1.4.2.2.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{a + 1 + a - 1 \cdot 1}$

Étape 1.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{a + 1 + a - 1}$

Étape 1.4.2.4

Additionnez $a$ et $a$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{2 a + 1 - 1}$

Étape 1.4.2.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{2 a + 0}$

Étape 1.4.2.6

Additionnez $2 a$ et $0$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{2 a}$

Étape 1.4.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.4.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 b$ .

$m = \frac{- (2 b) + 1}{2 a}$

Étape 1.4.3.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$m = \frac{- (2 b) - 1 \cdot - 1}{2 a}$

Étape 1.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 b) - 1 (- 1)$ .

$m = \frac{- (2 b - 1)}{2 a}$

Étape 1.4.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.3.4.1

Réécrivez $- (2 b - 1)$ comme $- 1 (2 b - 1)$ .

$m = \frac{- 1 (2 b - 1)}{2 a}$

Étape 1.4.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$m = - \frac{2 b - 1}{2 a}$

Étape 2

Utilisez la pente $- \frac{2 b - 1}{2 a}$ et un point donné, tel que $(- a + 1, b - 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (b - 1) = - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot (x - (- a + 1))$

Étape 3

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - b + 1 = - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot (x + a - 1)$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Simplifiez $- \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot (x + a - 1)$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez.

$y - b + 1 = 0 + 0 - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot (x + a - 1)$

Étape 4.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - b + 1 = - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot (x + a - 1)$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - b + 1 = - \frac{2 b - 1}{2 a} x - \frac{2 b - 1}{2 a} a - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Associez $x$ et $\frac{2 b - 1}{2 a}$ .

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} - \frac{2 b - 1}{2 a} a - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$

Étape 4.1.4.2

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 4.1.4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 b - 1}{2 a}$ dans le numérateur.

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- (2 b - 1)}{2 a} a - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$

Étape 4.1.4.2.2

Factorisez $a$ à partir de $2 a$ .

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- (2 b - 1)}{a \cdot 2} a - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$

Étape 4.1.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- (2 b - 1)}{a \cdot 2} a - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$

Étape 4.1.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- (2 b - 1)}{2} - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $- \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$ .

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Étape 4.1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- (2 b - 1)}{2} + 1 \frac{2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.4.3.2

Multipliez $\frac{2 b - 1}{2 a}$ par $1$ .

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- (2 b - 1)}{2} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} - \frac{2 b - 1}{2} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.6

Pour écrire $- \frac{2 b - 1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} - \frac{2 b - 1}{2} \cdot \frac{a}{a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.7

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.7.1

Multipliez $\frac{2 b - 1}{2}$ par $\frac{a}{a}$ .

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} - \frac{(2 b - 1) a}{2 a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y - b + 1 = \frac{- x (2 b - 1) - (2 b - 1) a}{2 a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.8.1

Factorisez $2 b - 1$ à partir de $- x (2 b - 1) - (2 b - 1) a$ .

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Étape 4.1.8.1.1

Factorisez $2 b - 1$ à partir de $- x (2 b - 1)$ .

$y - b + 1 = \frac{(2 b - 1) (- x) - (2 b - 1) a}{2 a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.8.1.2

Factorisez $2 b - 1$ à partir de $- (2 b - 1) a$ .

$y - b + 1 = \frac{(2 b - 1) (- x) + (2 b - 1) (- 1 a)}{2 a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.8.1.3

Factorisez $2 b - 1$ à partir de $(2 b - 1) (- x) + (2 b - 1) (- 1 a)$ .

$y - b + 1 = \frac{(2 b - 1) (- x - 1 a)}{2 a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.8.2

Réécrivez $- 1 a$ comme $- a$ .

$y - b + 1 = \frac{(2 b - 1) (- x - a)}{2 a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y - b + 1 = \frac{(2 b - 1) (- x - a) + 2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.10.1

Développez $(2 b - 1) (- x - a)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.10.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - b + 1 = \frac{2 b (- x - a) - 1 (- x - a) + 2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.10.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y - b + 1 = \frac{2 b (- x) + 2 b (- a) - 1 (- x - a) + 2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.10.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - b + 1 = \frac{2 b (- x) + 2 b (- a) - 1 (- x) - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.10.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y - b + 1 = \frac{2 \cdot - 1 b x + 2 b (- a) - 1 (- x) - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.10.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x + 2 b (- a) - 1 (- x) - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.10.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x + 2 \cdot - 1 b a - 1 (- x) - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.10.2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x - 2 b a - 1 (- x) - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.10.2.5

Multipliez $- 1 (- x)$ .

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Étape 4.1.10.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x - 2 b a + 1 x - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.10.2.5.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x - 2 b a + x - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.10.2.6

Multipliez $- 1 (- a)$ .

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Étape 4.1.10.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x - 2 b a + x + 1 a + 2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.10.2.6.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x - 2 b a + x + a + 2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.11

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1.11.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 b x$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x) - 2 b a + x + a + 2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.11.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 b a$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x) - (2 b a) + x + a + 2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.11.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 b x) - (2 b a)$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a) + x + a + 2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a) - 1 (- x) + a + 2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.11.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 b x + 2 b a) - 1 (- x)$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x) + a + 2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.11.6

Factorisez $- 1$ à partir de $a$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x) - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.11.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 b x + 2 b a - x) - 1 (- a)$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x - a) + 2 b - 1}{2 a}$

Étape 4.1.11.8

Factorisez $- 1$ à partir de $2 b$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x - a) - (- 2 b) - 1}{2 a}$

Étape 4.1.11.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 b x + 2 b a - x - a) - (- 2 b)$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b) - 1}{2 a}$

Étape 4.1.11.10

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b) - 1 (1)}{2 a}$

Étape 4.1.11.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b) - 1 (1)$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1)}{2 a}$

Étape 4.1.11.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.11.12.1

Réécrivez $- (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1)$ comme $- 1 (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1)$ .

$y - b + 1 = \frac{- 1 (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1)}{2 a}$

Étape 4.1.11.12.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - b + 1 = - \frac{2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1}{2 a}$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Ajoutez $b$ aux deux côtés de l’équation.

$y + 1 = - \frac{2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1}{2 a} + b$

Étape 4.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1}{2 a} + b - 1$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Divisez la fraction $\frac{2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1}{2 a}$ en deux fractions.

$y = - (\frac{2 b x + 2 b a - x - a - 2 b}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.2.1

Divisez la fraction $\frac{2 b x + 2 b a - x - a - 2 b}{2 a}$ en deux fractions.

$y = - (\frac{2 b x + 2 b a - x - a}{2 a} + \frac{- 2 b}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Étape 4.2.3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.2.2.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.3.2.2.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = - (\frac{(2 b x + 2 b a) - x - a}{2 a} + \frac{- 2 b}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Étape 4.2.3.2.2.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = - (\frac{2 b (x + a) - (x + a)}{2 a} + \frac{- 2 b}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Étape 4.2.3.2.2.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + a$ .

$y = - (\frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- 2 b}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Étape 4.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.2.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 b$ .

$y = - (\frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{2 (- b)}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Étape 4.2.3.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.2.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 a$ .

$y = - (\frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{2 (- b)}{2 (a)} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Étape 4.2.3.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - (\frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{2 (- b)}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Étape 4.2.3.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - (\frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- b}{a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Étape 4.2.3.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - (\frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} - \frac{b}{a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Étape 4.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} - - \frac{b}{a} - \frac{1}{2 a} + b - 1$

Étape 4.2.3.4

Multipliez $- - \frac{b}{a}$ .

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Étape 4.2.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - \frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + 1 \frac{b}{a} - \frac{1}{2 a} + b - 1$

Étape 4.2.3.4.2

Multipliez $\frac{b}{a}$ par $1$ .

$y = - \frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{b}{a} - \frac{1}{2 a} + b - 1$

Étape 5

Indiquez l’équation sous différentes formes.

Forme affine :

$y = - \frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{b}{a} - \frac{1}{2 a} + b - 1$

Forme point-pente :

$y - b + 1 = - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot (x + a - 1)$

Étape 6