Ensembles finis Exemples

$x + y + z = 175$ , $5 x + 6 y + 8 z = 1000$ , $x - 2 y = 0$

Étape 1

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 175 \\ 5 & 6 & 8 & 1000 \\ 1 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 175 \\ 5 - 5 \cdot 1 & 6 - 5 \cdot 1 & 8 - 5 \cdot 1 & 1000 - 5 \cdot 175 \\ 1 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 175 \\ 0 & 1 & 3 & 125 \\ 1 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 175 \\ 0 & 1 & 3 & 125 \\ 1 - 1 & - 2 - 1 & 0 - 1 & 0 - 175 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 175 \\ 0 & 1 & 3 & 125 \\ 0 & - 3 & - 1 & - 175 \end{array}]$

Étape 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 175 \\ 0 & 1 & 3 & 125 \\ 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 1 + 3 \cdot 3 & - 175 + 3 \cdot 125 \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 175 \\ 0 & 1 & 3 & 125 \\ 0 & 0 & 8 & 200 \end{array}]$

Étape 2.4

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Étape 2.4.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 175 \\ 0 & 1 & 3 & 125 \\ \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} & \frac{200}{8} \end{array}]$

Étape 2.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 175 \\ 0 & 1 & 3 & 125 \\ 0 & 0 & 1 & 25 \end{array}]$

Étape 2.5

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Étape 2.5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 175 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 125 - 3 \cdot 25 \\ 0 & 0 & 1 & 25 \end{array}]$

Étape 2.5.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 175 \\ 0 & 1 & 0 & 50 \\ 0 & 0 & 1 & 25 \end{array}]$

Étape 2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Étape 2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 175 - 25 \\ 0 & 1 & 0 & 50 \\ 0 & 0 & 1 & 25 \end{array}]$

Étape 2.6.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 150 \\ 0 & 1 & 0 & 50 \\ 0 & 0 & 1 & 25 \end{array}]$

Étape 2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 150 - 50 \\ 0 & 1 & 0 & 50 \\ 0 & 0 & 1 & 25 \end{array}]$

Étape 2.7.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 100 \\ 0 & 1 & 0 & 50 \\ 0 & 0 & 1 & 25 \end{array}]$

Étape 3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 100$

$y = 50$

$z = 25$

Étape 4

The solution is the set of ordered pairs that make the system true.

$(100, 50, 25)$