Ensembles finis Exemples

$x \cdot 1 + 3 x \cdot 2 - 2 x \cdot 3 = 5$ , $2 x \cdot 1 - 2 x \cdot 2 - x \cdot 3 = - 5$ , $x \cdot 1 - 5 x \cdot 2 + x \cdot 3 = - 10$

Étape 1

Move variables to the left and constant terms to the right.

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Étape 1.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot 1 + 3 x \cdot 2 - 2 x \cdot 3$ .

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Étape 1.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $3 x \cdot 2$ et $- 2 x \cdot 3$ .

$x \cdot 1 + 2 \cdot 3 x - 2 \cdot 3 x = 5$

$2 x \cdot 1 - 2 x \cdot 2 - x \cdot 3 = - 5$

$x \cdot 1 - 5 x \cdot 2 + x \cdot 3 = - 10$

Étape 1.1.2

Soustrayez $2 \cdot 3 x$ de $2 \cdot 3 x$ .

$x \cdot 1 + 0 = 5$

$2 x \cdot 1 - 2 x \cdot 2 - x \cdot 3 = - 5$

$x \cdot 1 - 5 x \cdot 2 + x \cdot 3 = - 10$

Étape 1.1.3

Additionnez $x \cdot 1$ et $0$ .

$x \cdot 1 = 5$

$2 x \cdot 1 - 2 x \cdot 2 - x \cdot 3 = - 5$

$x \cdot 1 - 5 x \cdot 2 + x \cdot 3 = - 10$

$x \cdot 1 = 5$

$2 x \cdot 1 - 2 x \cdot 2 - x \cdot 3 = - 5$

$x \cdot 1 - 5 x \cdot 2 + x \cdot 3 = - 10$

Étape 1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = 5$

$2 x \cdot 1 - 2 x \cdot 2 - x \cdot 3 = - 5$

$x \cdot 1 - 5 x \cdot 2 + x \cdot 3 = - 10$

Étape 1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = 5$

$2 x - 2 x \cdot 2 - x \cdot 3 = - 5$

$x \cdot 1 - 5 x \cdot 2 + x \cdot 3 = - 10$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x = 5$

$2 x - 4 x - x \cdot 3 = - 5$

$x \cdot 1 - 5 x \cdot 2 + x \cdot 3 = - 10$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x = 5$

$2 x - 4 x - 3 x = - 5$

$x \cdot 1 - 5 x \cdot 2 + x \cdot 3 = - 10$

$x = 5$

$2 x - 4 x - 3 x = - 5$

$x \cdot 1 - 5 x \cdot 2 + x \cdot 3 = - 10$

Étape 1.4

Soustrayez $4 x$ de $2 x$ .

$x = 5$

$- 2 x - 3 x = - 5$

$x \cdot 1 - 5 x \cdot 2 + x \cdot 3 = - 10$

Étape 1.5

Soustrayez $3 x$ de $- 2 x$ .

$x = 5$

$- 5 x = - 5$

$x \cdot 1 - 5 x \cdot 2 + x \cdot 3 = - 10$

Étape 1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = 5$

$- 5 x = - 5$

$x - 5 x \cdot 2 + x \cdot 3 = - 10$

Étape 1.6.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$x = 5$

$- 5 x = - 5$

$x - 10 x + x \cdot 3 = - 10$

Étape 1.6.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x = 5$

$- 5 x = - 5$

$x - 10 x + 3 x = - 10$

$x = 5$

$- 5 x = - 5$

$x - 10 x + 3 x = - 10$

Étape 1.7

Soustrayez $10 x$ de $x$ .

$x = 5$

$- 5 x = - 5$

$- 9 x + 3 x = - 10$

Étape 1.8

Additionnez $- 9 x$ et $3 x$ .

$x = 5$

$- 5 x = - 5$

$- 6 x = - 10$

$x = 5$

$- 5 x = - 5$

$- 6 x = - 10$

Étape 2

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 5 & - 5 \\ - 6 & - 10 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 3.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & - 5 + 5 \cdot 5 \\ - 6 & - 10 \end{array}]$

Étape 3.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 5 \\ 0 & 20 \\ - 6 & - 10 \end{array}]$

Étape 3.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 6 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 3.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 6 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 5 \\ 0 & 20 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & - 10 + 6 \cdot 5 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 5 \\ 0 & 20 \\ 0 & 20 \end{array}]$

Étape 3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{20}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{20}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 5 \\ \frac{0}{20} & \frac{20}{20} \\ 0 & 20 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 5 \\ 0 & 1 \\ 0 & 20 \end{array}]$

Étape 3.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 20 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 3.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 20 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 5 \\ 0 & 1 \\ 0 - 20 \cdot 0 & 20 - 20 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 5 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 5 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 3.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 5 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.5.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$0 = 1$

$0 = 0$

Étape 5

The solution is the set of ordered pairs that make the system true.

$(error = error)$